特定の粘度の液体(たとえばシャンプー)をじょうごの上から流し込む際、じょうごの排出口の径がφ○のとき、○ml/秒の流量で流れるといった計算をしたいのですが、どのような計算式を用いて求めればよいでしょうか?

液体は自重で供給されることになります。

よろしくお願いいたします。

A 回答 (1件)

ご質問への回答にはなりませんが、一応書いておきます。


完全流体なら公式(下記トリチェリの定理)がありますが、粘性流体では公式の類はないと思います。
---------------------
1本の流管の離れた2点を添え字<1>,<2>で表わしたとき、粘性流体に対する機械的エネルギー収支は、

a.断面1と2での運動エネルギーの差
b.断面1と2でのポテンシャルエネルギーの差
c.断面1と2での圧力による仕事量の差
d.摩擦により失われた仕事量
e.外部から供給された仕事量
 とすれば、
a+b+c-d+e= 0

液体が非圧縮性であれば、U:流速、z:高さ、P:圧力、ρ:密度、として、
a.(α/2)*(U<1>^2-U<2>^2)、
  乱流:α≒1、層流:α≒2
b.z<1>g-z<2>g
c.(P<1>-P<2>)/ρ
d.Ev(完全流体では=0)
e.We(1,2間にポンプ等による仕事がなければ=0)

Ev=0 かつ We=0 のときは、完全流体(=非粘性流体)に対するベルヌーイの式に一致します。
(以上「新体系単位操作」オーム社p.167、H6年9月 からまとめ。)
---------------------
【問】高さH(m)の液面まで液体を入れた容器の底部に直径D(m)の穴をあけた場合、出口流速を求めよ。

■完全流体(=非粘性流体)
断面1を液面、2を容器出口とおき、粘性μ=0 → Re数=UDρ/μ=∞ → 乱流扱いなので、α=1。
 z<1>-z<2>=H、P<1>=P<2>(=1気圧)、Ev=0、We=0、を代入しU<2>を求めます。
容器(の水面積)があまり大きくない場合は、液面の降下速度U<1>を無視できず、
  U<2>=√{u<1>^2 + 2gH}
容器が大きくu<1>=0と見なせる場合は、
  U<2>=√{2gH}・・・(トリチェリの定理)

■粘性流体(1)
同じ問題を粘性流体に置き換えると、途端に
 d.摩擦により失われた仕事量
の推算が難しいことに気付きます。(これさえ判れば、あとは上と同じ計算です。)
 容器の壁と底に接する粘性流体は静止し、薄い境界層ができますが、これによる摩擦損失は無視できるでしょう。(出口には容器中央部の流れが流出してくるので、壁際に存在する薄い大きな速度勾配は、あろうがなかろうが流出量に殆ど影響しない筈。)
 問題なのは、出口穴の縁(ふち)だけ。
 完全流体なら縁に接する流れも(摩擦がないため)流下液柱の中央部と同じ流速を持ちますが、粘性流体では縁に接する流体の流速がゼロです。
 摩擦により失われる仕事量は縁の長さにもよりますが、発達した層流境界層にもなっていないでしょうし、中途半端に小さいので、どう計算すべきか・・・

■粘性流体(2)
 出口から下に、穴と同じ内径D(m)で長さL(m)>>D の鋼管を鉛直に接続すると、摩擦抵抗が計算できる大きさになるので、回答可能になります。
Fanningの式:ΔP=P<1>-P<2>=2f・ρ・H・u^2/D、
 層流なら f=16/Re
(乱流なら例えば Karman-Nikuradseの式からfを算出、計算例⇒ http://okwave.jp/qa4890025.html
このΔPをc.に入れれば出口流速を求めることが可能です。
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「速度勾配に対してどれだけのせん断応力を生じるかを表す指標」
と言い表すことができます。これに対して動粘度は、
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まず、風船とパチンコ玉を用意して、両方の表面にグリセリンをべたべたに塗りたくってみます。このとき、これらの「粒子」の粘度は、表面のグリセリンのネバネバによって決定されると考えて良いので、「粘度」は同じです。
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