液体の粘度と排出口通過量の計算

特定の粘度の液体（たとえばシャンプー）をじょうごの上から流し込む際、じょうごの排出口の径がφ○のとき、○ml/秒の流量で流れるといった計算をしたいのですが、どのような計算式を用いて求めればよいでしょうか？

液体は自重で供給されることになります。

よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： lycaon 回答日時： 2009/05/23 22:51

ご質問への回答にはなりませんが、一応書いておきます。

完全流体なら公式（下記トリチェリの定理）がありますが、粘性流体では公式の類はないと思います。
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1本の流管の離れた2点を添え字<1>,<2>で表わしたとき、粘性流体に対する機械的エネルギー収支は、

ａ．断面1と2での運動エネルギーの差
ｂ．断面1と2でのポテンシャルエネルギーの差
ｃ．断面1と2での圧力による仕事量の差
ｄ．摩擦により失われた仕事量
ｅ．外部から供給された仕事量
　とすれば、
ａ＋ｂ＋ｃ－ｄ＋ｅ＝ ０

液体が非圧縮性であれば、U：流速、ｚ：高さ、Ｐ：圧力、ρ：密度、として、
ａ．(α/2)*(Ｕ<1>＾2－Ｕ<2>＾2）、
　　乱流：α≒1、層流：α≒２
ｂ．ｚ<1>ｇ-ｚ<2>ｇ
ｃ．（Ｐ<1>－Ｐ<2>)／ρ
ｄ．Ｅv（完全流体では＝0）
ｅ．Ｗe（1,2間にポンプ等による仕事がなければ＝0）

Ｅv＝0 かつ Ｗe＝0 のときは、完全流体（＝非粘性流体）に対するベルヌーイの式に一致します。
（以上「新体系単位操作」オーム社p.167、H6年9月 からまとめ。）
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【問】高さH(m)の液面まで液体を入れた容器の底部に直径D(m)の穴をあけた場合、出口流速を求めよ。

■完全流体（＝非粘性流体）
断面1を液面、2を容器出口とおき、粘性μ＝0 → Re数＝ＵＤρ/μ＝∞ → 乱流扱いなので、α＝1。
　ｚ<1>-ｚ<2>＝Ｈ、Ｐ<1>＝Ｐ<2>（＝1気圧）、Ｅv＝0、Ｗe＝0、を代入しＵ<2>を求めます。
容器（の水面積）があまり大きくない場合は、液面の降下速度Ｕ<1>を無視できず、
　　Ｕ<2>＝√{ｕ<1>＾2 ＋ ２ｇＨ}
容器が大きくｕ<1>＝0と見なせる場合は、
　　Ｕ<2>＝√{２ｇＨ}・・・（トリチェリの定理）

■粘性流体(1)
同じ問題を粘性流体に置き換えると、途端に
　ｄ．摩擦により失われた仕事量
の推算が難しいことに気付きます。（これさえ判れば、あとは上と同じ計算です。）
　容器の壁と底に接する粘性流体は静止し、薄い境界層ができますが、これによる摩擦損失は無視できるでしょう。（出口には容器中央部の流れが流出してくるので、壁際に存在する薄い大きな速度勾配は、あろうがなかろうが流出量に殆ど影響しない筈。）
　問題なのは、出口穴の縁（ふち）だけ。
　完全流体なら縁に接する流れも（摩擦がないため）流下液柱の中央部と同じ流速を持ちますが、粘性流体では縁に接する流体の流速がゼロです。
　摩擦により失われる仕事量は縁の長さにもよりますが、発達した層流境界層にもなっていないでしょうし、中途半端に小さいので、どう計算すべきか・・・

■粘性流体(2)
　出口から下に、穴と同じ内径Ｄ(m)で長さＬ(m)>>Ｄ の鋼管を鉛直に接続すると、摩擦抵抗が計算できる大きさになるので、回答可能になります。
Fanningの式：ΔＰ＝Ｐ<1>－Ｐ<2>＝2f・ρ・Ｈ・u^2/D、
　層流なら　f＝16/Re
（乱流なら例えば Karman-Nikuradseの式からｆを算出、計算例⇒ http://okwave.jp/qa4890025.html ）
このΔＰをｃ.に入れれば出口流速を求めることが可能です。