平方完成で(4次式)>0を示したい

実数係数の2次式x^2+2px+qが恒等的に正であるという条件は、p^2-q<0ですが、次のように説明できます。

(平方完成を使う方法)
x^2+2px+q=(x+p)^2-p^2+q
なので、-p^2+q>0であればよい。

(グラフを使う方法)
f(x)=x^2+2px+q、f'(x)=2x+2p
より、極小点のx座標は-pなので、f(-p)>0であればよい。

(判別式を使う方法)
判別式とは、2次方程式としたときの解をα,βとしたときの、D=(α-β)^2。
解と係数の関係を使って、D/4=p^2-q。
α,βは、実数どうしか、互いに共役複素数。
α,βが、実数どうしのとき、D≧0。
α,βが、互いに共役複素数のとき、D<0。

(相加相乗平均を使う方法)
f(x)=x^2+2px+qにおいて、f(0)=q>0が必要。
x^2+2px+q ≧ 2√(x^2*q) + 2px = 2√q|x| + 2px
x≧0のとき、2x(p+√q)なので、p+√q>0つまり、-p<√qであればよい。
x<0のとき、2x(p-√q)なので、p-√q<0つまり、p<√qであればよい。
まとめて、p^2<q

いま、実数係数の4次式x^4+px^3+qx^2+rx+s、もしくは横に平行移動させて3次の項を消した、x^4+qx^2+rx+s、が恒等的に正であるという条件を具体的に求めることができなくて悩んでいます。

(グラフを使う方法)は、途中で3次方程式がからんできて、複雑になります。
(判別式を使う方法)は、そのままでは役立ちそうにありません。
(相加相乗平均を使う方法)、もしくは、(平方完成を使う方法)を使って、(4次式)>0を示すにはどうしたらよいでしょうか？

No.1 回答者： noname#101087 回答日時： 2009/05/22 16:37

「実軸上に零点がない」条件を使えるとすれば、実数係数の 4次方程式を 2次方程式のペアに因数分解する「Brown の方法」は使えませんか？

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検証しているヒマが無いので、火種だけです…。