パデ近似はテーラー展開を分母と分子にもつようなものですが、
・これの具体的な計算の仕方を教えて下さい。
・テーラー展開に対する利点を教えて下さい。

手元にある本には、「有限の級数展開を無限級数に置き換えることが出来る」、と書かれてあります。ネットで検索してみると「有理関数には基礎演算しか使われないので,数値的評価が非常に簡単である.」
と書かれていますが、一体パデ近似の御利益は何なのでしょうか?
どういうときにこれを使えば良いのでしょうか?

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A 回答 (6件)

・これの具体的な計算の仕方を教えて下さい。



たとえば
f(x)=log(x) の(x-1)^6項までTaylor展開で関数近似をする
=x-1-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3-(x-1)^4/4+(x-1)^5/5-(x-1)^6/6
+...
これを使ってwxMaximaを使ってパデ近似すると
(%i1) pade(f,6,4);
を実行するとパデ近似関数の5通り計算してくれる。その中の分子と分母の次数差が少ない近似関数を選んでやると
f(x)=(11*x^3+27*x^2-27*x-11)/(3*x^3+27*x^2+27*x+3)
が得られる。

・テーラー展開に対する利点を教えて下さい。
同じ次数のテーラー展開の項数を使用しても、テーラー展開より広い範囲で近似精度が良い。(log(x)のグラフ、x=1の周りのTaylor展開6次打切りとそれに対するPade近似の比較図参照)

> 一体パデ近似の御利益は何なのでしょうか?
パデ近似は、ある変数の広い変化範囲で近似度が一定で誤差が少ない。一方。テーラー展開では展開の中心xから離れるほど近似誤差が大きくなり
、パデ近似と同じ精度の数値計算をしようとするとテーラー展開の項数を相当沢山とらないと同じ程度の誤差にできない。つまり展開の中心から離れるとテーラー展開は急速に近似度が落ち収束が悪くなってしまうがパデ近似は近似次数を上げなくても近似度が落ちないという長所を持っている。

より少ない、項数の有理多項式で、高精度の計算が広い変域に渡って可能である。
グラフを参照して貰えば明らかですね。
「パデ近似の利点について教えて下さい。」の回答画像1
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

大体のことは分かったのですが、やはり気になることがあります。

・wxMaximaを使って計算して下さったようなのですが、一体どういうアルゴリズムというか計算で展開しているのでしょうか?テイラー展開みたいに微分を繰り返していくのでしょうか?

・このグラフを見る限りパデ近似はもとのグラフと完全に重なっており、テイラー展開は用なしに思えてくるのですが、正直パデ近似を使っているものは、いままで2回ほどしか見かけたことがありません。
テイラー展開に対してこれほど有用に思えるのに、それほど利用されないのはなぜなのでしょうか?

・それとできればパデ近似に関して詳述してある書籍などがありましたら教えて下さい。一応学部レベルの物理と数学は勉強したつもりですが、これは習ったことがありません。


よろしくお願いいたします。

お礼日時:2009/05/24 13:28

> テイラー展開は用なしに思えてくるのですが、


> 正直パデ近似を使っているものは、いままで2回ほどしか見かけたことがありません。
> テイラー展開に対してこれほど有用に思えるのに、それほど利用されないのはなぜなのでしょうか?

恐らく、面倒くさいからです。
所詮は、少ない項数で近似精度を上げよう… というミミッちい話ですから、
多項式近似でも目的の精度が得られるなら、式が簡単なほうが好まれる訳です。

その際、テーラー近似を使うよりも、
一般の多項式近似の中から曲線の当てはめを行ったほうが、区間全体での
近似精度は上がります。テーラー近似は、テーラー展開に由来しているために、
どうしても、中心近傍での精度だけが偏重されてしまうのです。
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#1、#4です。


>体どういうアルゴリズムというか計算で展開しているのでしょうか?
以下にPade近似の求め方の具体的な手順が載っていますので参考にして下さい。

http://www.finetune.co.jp/~lyuka/technote/fract/ …
http://amath.colorado.edu/courses/7400/2008fall/ …
http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/PadeAppr …
↑のsolutionのところをクリックすると詳細があります。
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#1です。


A#1の補足質問の回答
>・wxMaximaを使って計算して下さったようなのですが、一体どういうアルゴリズムというか計算で展開しているのでしょうか?テイラー展開みたいに微分を繰り返していくのでしょうか?

微分は繰り返さず未定係数法で係数の連立方程式を解くだけでいいですね。

f_n(x)をf(x)のTaylor展開をn次項までで打ち切った多項式とします。
パデ近似関数の計算原理はPade近似の定義に従って、求めたf_n(x)の係数とパデ近似の有理多項式g_n(x)=p_m(x)/q_r(x),(m+r=n)の係数の関係の連立方程式を解くだけです。つまり、q_r(x)を両辺に掛けた多項式方程式
f_n(x)q_r(x)=p_m(x)
を恒等式と見做して、未定係数法つまり、xの同じ係数間に成り立つ関係式から全ての係数が整数である有理多項式であるp_m(x),q_r(x)を求めてパデ近似式g_n(x)を決定してやれば良いですね。

>・このグラフを見る限りパデ近似はもとのグラフと完全に重なっており、
拡大すれば完全には重なりません。

>テイラー展開は用なしに思えてくるのですが、
>正直パデ近似を使っているものは、いままで2回ほどしか見かけたことがありません。
>テイラー展開に対してこれほど有用に思えるのに、それほど利用されないのはなぜなのでしょうか?

x=aの周りにTaylor展開近似(n次の項までの打ち切ったもの)は|x-a|が大きくなると急速に近似精度が落ちます。近似精度を同じに保つには|x-a|が増加するにつれ、打ち切り項数nを大きくしないといけません。逆に|x-a|が小さいxの範囲(近傍)では打ち切り項数n≦3でも十分実用になります。
つまり,f_3(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2+f'''(a)(x-a)^3/6
で十分役立ち、手計算でもこの近似式は簡単に出せます。
実際の手計算での関数近似は3項位が限界ですね。
この近似計算は|x-a|<<R(Rは収束半径)という条件が必要です。
その範囲のxにおける近似計算ならTaylor展開近似が有利かと思います。

Pade近似はx=aの近傍でもより広い範囲を対象した近似式のため、その範囲での近似精度を確保するため、分子と分母の多項式の次数を多少多めに捕りますので連立方程式を解く手間がかかります。3次の微係数を求めるより3変数の連立方程式を解く方が手間がかかるかと思いませんか?
計算機で一旦パデ近似関数を求めておいても、有理多項式の分数形式の有理関数のの値を手計算で計算するのも大変ですね。Taylor級数近似式から近似値を計算した方が簡単かと思いますね。

>それとできればパデ近似に関して詳述してある書籍などがありましたら教えて下さい。
書籍でPade近似を勉強していません(多分大学で授業に使う数学や物理の教科書には載っていない)ので紹介できません。数式処理ソフトの関連マニュアルや高度な専門書やそれを取り扱う大学院の授業などでないと詳細には扱っていないでしょう。

内外の大学院の講義資料や数式ソフトの説明や専門家の論文資料などがネットに公開されていますので、#2さんも触れて見えますが「パデ近似」,「pade approximation」、「Pade 近似」などのキーワードでGoogle検索すれば、沢山のサイトが出てきますので、参考になるかと思います。
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御理解戴けなかったようですが、No.2 では、


「テーラー展開」は、一点近傍での無限級数による表示、
「テーラー近似」は、それを有限項で打ち切った近似、
「多項式近似」は、テーラー近似とは限らない一般の多項式による近似
の意味で使い分けています。
そのつもりで読み直して戴いたほうが、内容が伝わると思います。

ローラン展開も、テーラー展開も、近似ではなく、
収束円内ではもとの関数と一致するものですから、
誤差は0であり、「精度」という考えが意味を持ちません。

パデ近似とテーラー近似(を含む多項式近似)の比較については、
No.2 に述べました。
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以前、他の方の質問に沿って、


Pade 近似について調べてみたことのある者です。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3885115.html
上記質問内に、参考サイトへのリンクがあります。

まず、
> パデ近似はテーラー展開を分母と分子にもつようなものですが、
というのが、少し違います。
パデ近似は、有理式による近似ですから、分子分母に多項式を持ちますが、
分子分母の多項式は、級数ではなく、「有限次の」多項式です。
この点は、パデ近似の利点と関連して、重要です。

パデ近似は、分子と分母の次数の和が一定以下という条件の下で最良の
有理式近似を与えます。条件内の有理式には、分母が定数式のものも
含まれますから、パデ近似の精度は、(有限次)多項式近似より悪いことは
ありえません。

テーラー近似は、数ある多項式近似の中でも、ある区間での最良ではなく、
一点(展開の中心)近傍での近似精度をねらったものですから、
二乗積分誤差など区間での誤差評価をすれば、当然、
テーラー近似の誤差 > 多項式近似の最良誤差 > パデ近似の最良誤差
となります。

では、どういう場合に、有理式近似のほうが真に良いのかというと、
目的の関数が特異点を持つ場合が、顕著に良いです。

テーラー級数の収束半径が、展開中心から一番近い特異点までの距離であること
を見ても解るように、べき級数展開は、特異点の近傍で収束が遅くなります。
それは、ベキ級数を有限次で打ち切ったものである多項式近似の誤差が大きくなる
ということ。
有理式近似であれば、近似式自体が極を持ちますから、目的関数の極まで
再現することができます。

繰り返しになりますが、有理式近似は、多項式近似をも含むものですから、
有限次の近似を考える限り、多項式近似に劣ることはありません。
多項式近似が最適な場合には、有理式近似を求めた結果が、たまたま
多項式になるだけです。

これに対して、テーラー展開の利点は、式形の単純さにあります。
そのために、理論的な取り扱いがし易い。
次数→∞ の極限を考える際には、有限次近似での精度など関係ありませんからね。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

結局はテーラー展開の利点は理論的な取り扱いがし易い、ということだけだということですね。

それと気になったのですが、特異点の持つ場合にテーラー級数が不利だという話ですが、ではパデ近似はローラン展開と比べるとその精度はどうなのでしょうか?

テーラー近似の誤差 > 多項式近似の最良誤差 > パデ近似の最良誤差

の関係いくとローラン展開はテーラー近似に入るのでしょうか?

お礼日時:2009/05/25 00:42

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>lim(Σ[k=0 to n]a_k x^k)
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何て書けばいいのか分からなかったので、#1では「関数列(?)」と呼びましたが、これは関数ですらありません。(じゃぁ、何のなのかと聞かれると非常に困るのですが)


>(1)
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>(2)
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>で表しているが"無限級数"と"無限級数の和"は同意なのか?
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で表しています)
ま、特に区別する必要もないと思いますが。

>(4)
>"無限級数の和"とは"無限級数の値"のことと言えるか?
「無限級数の値」が何を指すのか定義をする必要がありますが、まぁ、同じと考えていいと思います。

#1です。岩波数学辞典によると、
Σ[n=1 to ∞]a_n
には2つの意味があるようです。

一つは、
a_1+a_2+a_3+・・・
のことです(これを「級数」と呼んでいる)。単にΣa_nとも書きます。
なお、収束とかは一切考えていません。「a_1,a_2,・・・を"+"という記号でつないで並べたもの」という形式的なものでしかありません。(#1に書いた形式的冪級数もこっちの意味です)

もう一つは、
部分和S_n=a_1+a_2+・・・+a_nの列{S_n}が収束する時の、極限値です。
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しれません。(周波数wは実数です)
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>そうではなくて全てF(X)=X^2で良いうことですか?


もう少し冷静になって理論展開をたどった方がいいと思います。

まずX^2をフーリエ展開するとどうなりますか?
  X^2=1/(3)*π^2 +4(1/(1^2) +1/(2^2) + 1/(3^2)....
ではないですよね?
なんせ、これだと右辺には変数のXが登場しないから定数ですよ。
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右辺にもXが含まれていて、関数X^2が右辺では三角関数(cos(nX))の和で表されていることがわかります。

ここまでは純粋にフーリエ級数の話で、ζ関数はまだ出てきていません。

ここで先ほど展開した式にX=πを代入するのがポイントなんですね。
普通に両辺にX=πを代入するだけです。
代入すると
  π^2 = 1/(3)*π^2 +4(1/(1^2) +1/(2^2) + 1/(3^2)....
になりますね。
このとき4で括られた括弧の中が偶然にもζ(2)と同じ形をしているんですね。
ですから右辺を書き換えて
  π^2 = 1/(3)*π^2 +4*ζ(2)
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  ξ(2)=(1/6)π^2
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全てF(X)=X^2で良いうことですか?というのはよく意味がわからないんですが、
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>私はF(X)=X^2をフーリエ展開すると 
>X^2=1/(3)*π^2 +4(1/(1^2) +1/(2^2) + 1/(3^2)....という答えがたまたまでてきたので、
>そこにX=πをいれればξ(2)=(1/6)π^2が成り立つと思っていたのですが、
>そうではなくて全てF(X)=X^2で良いうことですか?


もう少し冷静になって理論展開をたどった方がいいと思います。

まずX^2をフーリエ展開するとどうなりますか?
  X^2=1/(3)*π^2 +4(1/(1^2) +1/(2^2) + 1/(3^2)....
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つまり複素面の位相角として -π=-180°が出てきます。
つまり
G(s)=1/s・1/sの位相角は
1/sの位相角が-π/2,2つ掛け算になっていますから2倍の -πと分かるのです。
この例ではハッキリしませんのでもう1つ例
G(s)=(1+s)/{s(2+3s+s^2)}の場合の位相角を求めてみます。
G(jω)=(1+jω)/[(jω){({2+3jω+(jω)^2}]
θ={(1+jω)の位相角} -{(jω)の位相角}-[{2+3jω+(jω)^2}の位相角]
ωを0から∞まで変化させるとき
第1項{(1+jω)の位相角}は0からπ/2まで変化します(n=0)
第2項{(jω)の位相角は -π/2 (n=0)
第3項[{2+3jω+(jω)^2}の位相角]は 0から πまで変化します。
(ω=0~√2まではn=0,ω=0~√2まではn=1)

といった具合です。

G(s)の分子・分母を因数分解する。実数係数の範囲で分子・分母は一次か二次の因数の積に因数分解できます。一次因数は0~π/2の範囲で位相が変わります(n=0)。2次の因数は0からπの範囲で位相が変わります(ωが小さいときn=0、あるωを超えるとn=1)。
G(jω)の全体の位相角は、分子の位相角の符号を+、分母の位相角の符号を-として、すべての因数分加算すれば良いですね。

>このnを機械的に求める方法はあるのでしょうか?
例えばG(s)=1/s・1/sならばn=-1ということは、G(s)の機能的な意味合い(積分を2回)から分かりますが、意味に基づいて判断するのではなく、G(s)の形から知る方法はないのでしょうか?

すでにこの回答は以下のように書いているのですがお分かりになりませんか?
>伝達関数G(S)を複素伝達関数G(jω)で表し、角周波数を0→∞と変化させるとG(jω)の位相がどのように変化していくがわかると思います。
>G(s)=1/s・1/s
の場合に当てはめますと
G(jω)=1/(jω)^2から(...続きを読む

Q無限級数と無限数列の違いについて

無限級数の和を求めよ、といった場合0に収束しない場合、「数列{An}が0に収束しないから、この無限等比級数は発散する」となりますよね。それは級数ってのは数列の初項からn項(n→∞)まで足した場合、第∞項にいっても0にならなければ永久に数が増えるために発散ということでしょうか。
数列というのは最後の項(∞)の数値はなにか?ということでしょうか。それで第∞項(←こういう言い方は正しいか分かりませんが・・・)がなんかの値に限りなく近づいていったらその値に収束。ということでしょうか。
つまり、例えば数列のn項(n→∞)が1に収束しても、級数は数列が収束したからって、1を永久に足し続けるから発散。ということでしょうか?

ほかにも、数列が、増幅でも減衰でもない一定の振動をしている場合は、1-1+1-1+1・・・となって、合計が1,0,1,0,1,0・・・と0と1を振動してるだけなので級数も振動となるのでしょうか。

似たような問題で、+と-の値で増幅振動するのがあったんですけど,それは数列が0に収束しないから発散となっていました。1-2+4-8+16-32・・・ となり級数も振動すると思うのですが、解答に発散となっていたので、何かの値に収束しないものは(振動なども)すべてまとめて発散というのでしょうか?

ずらずら質問というか確認のような感じで書いてしまいましたが・・・ 極限をやるうえで、意外と大事なところだと思うのでお願いします。

無限級数の和を求めよ、といった場合0に収束しない場合、「数列{An}が0に収束しないから、この無限等比級数は発散する」となりますよね。それは級数ってのは数列の初項からn項(n→∞)まで足した場合、第∞項にいっても0にならなければ永久に数が増えるために発散ということでしょうか。
数列というのは最後の項(∞)の数値はなにか?ということでしょうか。それで第∞項(←こういう言い方は正しいか分かりませんが・・・)がなんかの値に限りなく近づいていったらその値に収束。ということでしょうか。
つまり、例...続きを読む

Aベストアンサー

∞は実数・複素数ではないので注意してください.(分かっているとは思いますが)収束先を第∞項と捉えるのは(それが感覚的なものであれ)あまり望ましくないと私は思います.

級数の収束は,第n項までの部分和を持ってきて,それを数列と見なして収束するかどうかを考えます.

「級数が収束するなら,項別では0に収束する」という命題があって,その対偶としてPlz_teach_meさんの仰ることが得られます.
証明は(n+1)項までの部分和とn項までの部分和の差が第(n+1)項であることを用いて極限をとることで得られます.

また,「永久に数が増えるために発散」という理解の方法は良くないと思います.収束する無限級数でも,各項が単調増加なら「永久に数は増え」ますよね.
例えば,
Σ[k=1to∞](1/2)^k
は永久に数が増えますが,級数は1に収束します.

振動と発散についてですが,
まず,収束と発散(収束しないもの全て)という風に分けて,更に発散については,無限大に発散・負の無限大に発散・振動という風に分けます.
ですから,振動する級数を発散する級数と呼んでも間違いではありません.

級数の収束は数列の収束に帰着できるので(というか定義がそうなので)そこに戻して考えればよいと思います.

数列の収束に対する理解が不十分だと思うなら,何か解析の初歩の本を読んでみる良いかもしれません.

∞は実数・複素数ではないので注意してください.(分かっているとは思いますが)収束先を第∞項と捉えるのは(それが感覚的なものであれ)あまり望ましくないと私は思います.

級数の収束は,第n項までの部分和を持ってきて,それを数列と見なして収束するかどうかを考えます.

「級数が収束するなら,項別では0に収束する」という命題があって,その対偶としてPlz_teach_meさんの仰ることが得られます.
証明は(n+1)項までの部分和とn項までの部分和の差が第(n+1)項であることを用いて極限をとることで得ら...続きを読む


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