a>0,b>0のとき,√ab,2ab/a+b
の大小関係はどのように調べれば良いのですか?

A 回答 (6件)

>このような解き方でも良いのでしょうか?



良いよ。
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この回答へのお礼

何度も回答して下さり、有難うございます。

お礼日時:2009/05/29 22:44

書き込みミスに、今頃気が付いた。



(誤)√ab-2ab/(a+b)=√(ab)*{1-2√(ab)/(a+b)}=(√a-√b)^2/{(a+b)*√(ab)}≧0.

(正)√ab-2ab/(a+b)=√(ab)*{1-2√(ab)/(a+b)}=√(ab)*(√a-√b)^2/{(a+b)}≧0.
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普通の方法。



√ab-2ab/(a+b)=√(ab)*{1-2√(ab)/(a+b)}=(√a-√b)^2/{(a+b)*√(ab)}≧0.
従って、等号は、√a-√b=0、つまり、a=bの時。
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2ab/a+b とは、調和平均の事。


相加平均≧相乗平均≧調和平均、である事は良く知られている。

b/a=tとする。b=atで、勿論、t>0.
√ab-(2ab)/(a+b)=a{√t-(2t)/(t+1)}。‥‥(1)
そこで、√t=m (m>0)とすると、(1)は、a{√t-(2t)/(t+1)}=a{m-(2m^2)/(m^2+1)}=a*m(m-1)^2/(m^2+1)≧0.
等号は、m=1、つまり、t=1 → a=b の時。

この回答への補足

このような解き方でも良いのでしょうか?

a>0,b>0より、
相加相乗平均の関係から、(a+b)/2≧√ab
a+b>0より、
1/2≧√ab/(a+b)
√ab>0より、
√ab/2≧ab/(a+b)
両辺を二倍して、
√ab≧2ab/(a+b)

等号成立は、a=bのとき

補足日時:2009/05/27 19:10
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2ab/a+b は 2ab/(a+b) のことかな? だとしたら, 逆数を使うってのも 1つの手ですな.

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( √ab )^2 - ( 2ab / a + b)^2 を計算して整理して見てください。

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