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 ★x+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

この問題について説明をお願いします。

A 回答 (5件)

おおざっぱな説明になりますが、左の式を


z=-x-y
として、それを右の式のzに代入します。
それを展開してまとめると
x^2-2xy+y^2=0
という式になります。
あとはこれを因数分解すれば
(x-y)^2=0
となるので、x=yという答えがでます。
与えられた条件がほかになければこれでいいはずです。
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(x、y)座標で考えてみます。



x+y+z=0 は(0、-z)、(-z、0)を通る勾配-1の直線です。(-z/2,-z/2)を通ります。

x^2+y^2=(z^2)/2 は原点を中心とする半径(1/√2)zの円です。
この円は(-z/2,-z/2)を通ります。

この2つのグラフはy=xについて対称です。
接している場合はx=yです。
交わっている場合はα≠βとして(α、β)、(β、α)の2つの解を持ちます。
x=y=-z/2の解が得られましたから接しています。
解は1つです。
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じゃあ、ちょっと違うやり方で


もし
x+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x<yである
ことが示せるなら、同じやり方で
y+x+z=0,2y^2+2x^2-z^2=0のとき,y<xである
ことが示せるはずである。これらは矛盾しているから結局
x+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x<yではない
ことが分かり、同様に
x+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,y<xではない
ことも分かる。従って
x+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yである
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証明するものがx=yで、zに無関係から、いずれにしても、zを消す作業をする事には違いはない。



x+y=-zから、両辺を2乗すると、x^2+2xy+y^2=z^2.
又、条件から、z^2=2x^2+2y^2であるから、2x^2+2y^2=x^2+2xy+y^2。
この式を左辺に集めて整理すると、(x-y)^2=0となるから、x=y。
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x+y+z=0→z=-(x+y)、z^2=(x+y)^2



これを
2x^2+2y^2-z^2=0に代入
x^2+y^2-2xy=(x-y)^2=…
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