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数学的帰納法の問題で
解説を見ても全く理解出来ない所が有ります。
問
2以上の全ての自然数nについて、不等式
Σ1/r^3(r=1からn)< 2-1/n^2
が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ
解説は
Σ1/r^3(r=1からn)< 2-1/n^2・・・(1)
[1]n=2のとき
(1)の左辺=1+1/8=9/8
右辺=2-1/4=7/4
よって(1)は成り立つ
[2]
n=kの時(1)が成り立つと仮定する
n=k+1の時を考えると、仮定から
Σ1/r^3(r=1からk+1まで)
=Σ1/r^3(r=1からk)+1/(k+1)^3< 2-1/k^2+1/(k+1)^3・・・(2)
見にくくて申し訳ないですが、
なぜ(k+1)のとき(2)の右辺が理解出来ません。
どなたかよろしくお願いします。
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
式(2)の左辺の第1項 Σ1/r^3(r=1からk) は、n=kのときの式(1)の左辺に相当するからです。
そのため、
Σ1/r^3(r=1からk)< 2-1/k^2
となります。
あとは、両辺に 1/(k+1)^3 を足し合わせれば、式(2)そのものになります。
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No.1
- 回答日時:
それは帰納法の仮定を使っているからです。
(1からk+1までの和)=(1からkまでの和)+(k+1番目の項)
帰納法の仮定より、kまでの和なら、示そうとしている不等式が成立しています。(つまり、Σ1/r^3(r=1からn)< 2-1/n^2 のnにkを代入したもの ) よって(1からkまでの和)<2-1/k^2 となるので、これの両辺に(k+1番目の項)を足せばできあがりです。
帰納法の最大の利点は、一つ前までなら成立するということが利用できることです。わざわざ帰納法をやるのは、こういうことに頼らざるを得ない(頼ると楽)からです。帰納法の仮定を使わずに証明ができるのなら、最初から普通に証明できてしまうというこです。
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