0の階乗はなぜ1になるのですか？

手元にある本に、0の階乗は深い理由により1になる、
と書かれてあるのですが、これはなぜこうなるのでしょうか？

普通に考えると0になると思うのですが。

ガンマ関数の導出の仕方を勉強しなければ分からないことなのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： taka_tora 回答日時： 2009/06/14 21:21

こんばんわ

他人のふんどしですが、
Wikipediaには二通りの苦しい解釈が挙げられていますね。

「(n-1)! = n! / n であるから、0! = 1!/1 = 1 と考えられるため、
あるいは、n! が異なる n 個のものを並べる順列の総数 nPn に一致し、0 個のものを並べる順列は「何も並べない」という一通りがあると考えられるため、など」

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/06/15 10:46

そう定義すると組み合わせの定義が楽だったりしますね.

もちろんこれも #6 の「イロイロ」の 1つですが.

No.6 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/06/15 09:00

(続き)

その上で、私なりの回答は、
「0!=1 と決めておくと、漸化式
n!=n・(n-1)! が n=1 でも成立して、
イロイロ便利だから。」
Γ関数との関係も、「イロイロ」の一部です。

階乗は、組み合わせ論の基本的な道具で、
数論でもよく使いますから、
Γ関数を定義にしてしまおうというのは、
解析学に偏寄して、女王様への愛が足りません。

No.5 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/06/15 08:40

「なぜ 1 に『なる』のか。

」という
疑問の持ち方が、そもそも姿勢として良くない。
『階乗』という用語を最初に定義した時点では、
0!=0 でも、0!=πでも、自由に定義することが
できたのだから、その質問は、
「なぜ 0!=1 に『する』のか。そうしておくと、
何がウレシイのか。」
でなくては、オカシイ。

これは、言葉尻の問題ではなく、
数学と付き合う基本姿勢の相違です。

No.4 回答者： hugen 回答日時： 2009/06/14 22:26

http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/calculus/c …
例題6.4. 広義積分

No.3 回答者： proto 回答日時： 2009/06/14 21:22

　　(n-1)! = (n-1)*(n-2)*...*2*1

　　　　　 = (n*(n-1)*(n-2)*...*2*1)/n = (n!)/n
これをn=1の場合に適用してみる。
　　(1-1!) = (1!)/1
　　0! = 1
よってこの拡張法を認めるなら、0!=1とするのが妥当であるとわかる。

＞普通に考えると0になると思うのですが。
それは何故？
どのように考えると？

この回答へのお礼

皆さんありがとうございます。

納得しました。

出来ればガンマ関数の勉強もしたいので、
初学者向けに分かりやすく書かれているガンマ関数の書籍も
教えて頂けないでしょうか？
よろしくお願い致します。

お礼日時：2009/06/14 22:00

No.1 回答者： l4330 回答日時： 2009/06/14 21:19

　

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97
0 個のものを並べる順列は「何も並べない」という一通りがある

この部分で理解してみてはどうかな