手元にある本に、0の階乗は深い理由により1になる、
と書かれてあるのですが、これはなぜこうなるのでしょうか?

普通に考えると0になると思うのですが。

ガンマ関数の導出の仕方を勉強しなければ分からないことなのでしょうか?

A 回答 (7件)

こんばんわ



他人のふんどしですが、
Wikipediaには二通りの苦しい解釈が挙げられていますね。

「(n-1)! = n! / n であるから、0! = 1!/1 = 1 と考えられるため、
あるいは、n! が異なる n 個のものを並べる順列の総数 nPn に一致し、0 個のものを並べる順列は「何も並べない」という一通りがあると考えられるため、など」

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97
    • good
    • 22

そう定義すると組み合わせの定義が楽だったりしますね.


もちろんこれも #6 の「イロイロ」の 1つですが.
    • good
    • 16

(続き)


その上で、私なりの回答は、
「0!=1 と決めておくと、漸化式
n!=n・(n-1)! が n=1 でも成立して、
イロイロ便利だから。」
Γ関数との関係も、「イロイロ」の一部です。

階乗は、組み合わせ論の基本的な道具で、
数論でもよく使いますから、
Γ関数を定義にしてしまおうというのは、
解析学に偏寄して、女王様への愛が足りません。
    • good
    • 16

「なぜ 1 に『なる』のか。

」という
疑問の持ち方が、そもそも姿勢として良くない。
『階乗』という用語を最初に定義した時点では、
0!=0 でも、0!=πでも、自由に定義することが
できたのだから、その質問は、
「なぜ 0!=1 に『する』のか。そうしておくと、
何がウレシイのか。」
でなくては、オカシイ。

これは、言葉尻の問題ではなく、
数学と付き合う基本姿勢の相違です。
    • good
    • 31
    • good
    • 9

  (n-1)! = (n-1)*(n-2)*...*2*1


      = (n*(n-1)*(n-2)*...*2*1)/n = (n!)/n
これをn=1の場合に適用してみる。
  (1-1!) = (1!)/1
  0! = 1
よってこの拡張法を認めるなら、0!=1とするのが妥当であるとわかる。

>普通に考えると0になると思うのですが。
それは何故?
どのように考えると?
    • good
    • 15
この回答へのお礼

皆さんありがとうございます。

納得しました。

出来ればガンマ関数の勉強もしたいので、
初学者向けに分かりやすく書かれているガンマ関数の書籍も
教えて頂けないでしょうか?
よろしくお願い致します。

お礼日時:2009/06/14 22:00

 


http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97
0 個のものを並べる順列は「何も並べない」という一通りがある

この部分で理解してみてはどうかな

 
    • good
    • 11

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q漸近線を求めるときの場合分け

タイトルの通りなのですが、漸近線の求め方について質問です。よろしくお願いします。
漸近線の基本的な求め方は、1、y軸に平衡な漸近線、2、y軸に平衡でない漸近線、とあります。

これを使って
問題1、y=(x^2-x+1)/(x-1)の漸近線を求めよ。
問題2、y=2x+(x^2-1)^(1/2)の漸近線を求めよ。
です。

解答は、問題1では式を変形して、漸近線を予想して、解いています。問題2では、明らかに、y軸に平行な漸近線はない、として、y軸に平行でない漸近線を求めています。

ですが、ここで質問です。問題1では、予想して求めていますが、これは入試の解答方法としていいのでしょうか。また、問題
で、明らかにy軸に平行な漸近線はない、としていますが、グラフもかけないで、どうしてそのようにいいきれるのでしょうか。ただ、これには、注として、グラフの概形は、y=2xとy=(x^2-1)^(1/2)の和曲線を考えるとありました。が、これの意味もよくわからないのです。

勉強不足ですが、どなたか存知の方、アドバイスをいただけませんか。よろしくお願いします。

タイトルの通りなのですが、漸近線の求め方について質問です。よろしくお願いします。
漸近線の基本的な求め方は、1、y軸に平衡な漸近線、2、y軸に平衡でない漸近線、とあります。

これを使って
問題1、y=(x^2-x+1)/(x-1)の漸近線を求めよ。
問題2、y=2x+(x^2-1)^(1/2)の漸近線を求めよ。
です。

解答は、問題1では式を変形して、漸近線を予想して、解いています。問題2では、明らかに、y軸に平行な漸近線はない、として、y軸に平行でない漸近線を求めています。

ですが、ここで質問で...続きを読む

Aベストアンサー

y=ax+bがy=f(x)の漸近線であれば、必ず

f(x)-(ax+b)→0 (x→∞) ・・・★
(当然、x→-∞の漸近線を考えるのであれば、x→-∞です。以下同様)

が成り立ちます。逆に、これが成り立てば、ほぼy=ax+bは漸近線であると考えて差し支えありません。(ほぼと書いたのはy=f(x)とy=ax+bが交わる可能性があるから)

したがって、このようなa,bが(何らかの予想をたてて)見つかったのであれば、y=ax+bが漸近線として大きな問題は起こりません。
>問題1では、予想して求めていますが、これは入試の解答方法としていいのでしょうか。
具体的にどのような解答なのか分かりませんが、多分、問題ありません。

ちなみに、実際に、このようなa,bを計算で求めるとしたら、
a=lim[x→∞]f(x)/x (★をxで割ってx→∞としたもの)
としてaを求めます。このaを元に
b=lim[x→∞](f(x)-ax)
としてbを求めます。(もちろん、これらが収束する保証はありませんが、収束しないのなら、漸近線を持たないという事です)


>また、問題
>で、明らかにy軸に平行な漸近線はない、としていますが、グラフもかけないで、どうしてそのようにいいきれるのでしょうか。
y軸に平行な漸近線というのは、y=1/xにおけるy軸とか、y=tanxにおける、直線x=π/2のような奴です。
要するにf(x)がx→α(有限の値)で発散するような奴です。ほぼ100%、分母が0になるような奴です。
>y=2x+(x^2-1)^(1/2)
は、途中で発散することがないので(いたるところで連続ですから)、y軸に平行な漸近線を持ちません


>ただ、これには、注として、グラフの概形は、y=2xとy=(x^2-1)^(1/2)の和曲線を考えるとありました。

「南京玉すだれ」って分かりますか?
http://www.eonet.ne.jp/~tosimaru/
↑こんなのです。これの竹串(?)って、何か竹串に平行な方向にずれますよね。
※各竹串は、普通全部同じ長さですが、それぞれ長さが違うとしましょう(y=f(x)の形)

この竹串が垂直になるように、水平な面に置くと、すだれの上端はy=f(x)という形状になっているはずです。

でも、坂道に置くと(各竹串の下端を地面につける)、すだれの上端はy=f(x)という形にはなってませんよね。
坂道の高さ(?)+すだれの高さ(=f(x))
っていう感じの形になっているのがイメージできませんかね?

これと同じように、
y=2xという「坂道」の上に、√(x^2-1)という形の「すだれ」を置いている、というイメージで
y=2x+√(x^2-1)というグラフの形状をイメージしてみよう、
という感じの意味ですね。
(・・・って、上手く説明できません。。。図は書けないし、日本語は下手なので、分からなかったら、やんわりとスルーしてあげてくださいw)

y=ax+bがy=f(x)の漸近線であれば、必ず

f(x)-(ax+b)→0 (x→∞) ・・・★
(当然、x→-∞の漸近線を考えるのであれば、x→-∞です。以下同様)

が成り立ちます。逆に、これが成り立てば、ほぼy=ax+bは漸近線であると考えて差し支えありません。(ほぼと書いたのはy=f(x)とy=ax+bが交わる可能性があるから)

したがって、このようなa,bが(何らかの予想をたてて)見つかったのであれば、y=ax+bが漸近線として大きな問題は起こりません。
>問題1では、予想して求めていますが、これは入試の解答方法としていいのでし...続きを読む

QP>0に対して、ガンマ関数はΓ(p)=∫(e^-x)(x^p-1)dx

P>0に対して、ガンマ関数はΓ(p)=∫(e^-x)(x^p-1)dx (0→∞)と定義される。
(1)p>1に対してΓ(p)=(p-1)Γ(p-1)を示せ。
(2)nを自然数としてΓ(n+1/2)を求めよ。
教えてください。

Aベストアンサー

Γ(1/2) を求めろ.

Q漸近線の求めかた??

y=x+1+1/(x-1)のグラフを描く問題なんですが、増減表(添付図)を書いた後教科書では次のように漸近線を求めています。

lim[x]→1+0]y=∞, lim[x→1-0]y= ー∞であるからx=1はこの曲線の漸近線である。
さらに
lim[x→∞]{y-(x+1)}=0
lim[x→-∞]{y-(x+1)}=0
だからy=x+1もこの曲線の漸近線である。

[質問1] どういうわけで増減表を書いた後漸近線を求めたいと考えたのでしょうか?双曲線であると分かった上での判断ですか?
 
[質問2] 漸近線を求めるとき、なぜ、まるでy=x+1が漸近線であるとあらかじめしっているかのように
リミットの中の式をlim[x→∞]{y-(x+1)}=0 という形にしているのでしょうか?
(これで確かにy=x+1は漸近線ということがわかりますけど・・)

漸近線を求める上での考え方がよくわかりません。意味不明な箇所があるかもしれませんが、教えてください。

Aベストアンサー

> [質問1] どういうわけで増減表を書いた後漸近線を求めたいと考えたのでしょうか?双曲線であると分かった上での判断ですか?

増減表を描いた後に漸近線がある事に気付いたわけではなく、
y = x + 1 + 1/(x-1)という式を見た瞬間に気付くんです。

> [質問2] 漸近線を求めるとき、なぜ、まるでy=x+1が漸近線であるとあらかじめしっているかのように

ちょっと大雑把な考え方かもしれませんが、
y = x + 1 + 1/(x-1)がx → ∞の時(また、x → -∞の時)に
どうなるのかを想像してみるとよいです。
特に、右辺のそれぞれの項がどうなるかを考えると良いです。

x がどんどん大きくなると、x + 1 + 1/(x-1)の中の3つの項のうち、
1/(x - 1)だけは0に収束して消えていってしまいませんか?
そうなると残るのはxと+1の項だけになります。
なのでy = x + 1 + 1/(x-1)は、xがどんどん大きくなると
y = x + 1に近づくと考える事ができます。

y = (2x^2 + 5) / (x + 2)のような形の関数だと、
そのままではこのような考え方ができません。
この場合は割り算をして
y = 2x - 4 + (13/(x + 2))と変形してやると、
同じように考える事ができます。

他にも例えば、y = 2x + 3 + 2^xはx → -∞の時、
y = 2x + 3に漸近します(x → +∞では漸近しません)。
後は「漸近放物線」みたいのも考えられます。
例えばy = x^2 + 2x + (1/x)は、x → +∞とx → -∞の時、
放物線y = x^2 + 2xに漸近します。

> [質問1] どういうわけで増減表を書いた後漸近線を求めたいと考えたのでしょうか?双曲線であると分かった上での判断ですか?

増減表を描いた後に漸近線がある事に気付いたわけではなく、
y = x + 1 + 1/(x-1)という式を見た瞬間に気付くんです。

> [質問2] 漸近線を求めるとき、なぜ、まるでy=x+1が漸近線であるとあらかじめしっているかのように

ちょっと大雑把な考え方かもしれませんが、
y = x + 1 + 1/(x-1)がx → ∞の時(また、x → -∞の時)に
どうなるのかを想像してみるとよいです。
特...続きを読む

Q0!(ゼロの階乗)について

高校数学にでてくる階乗の問題についてですが、1!(1の階乗)は1というのはわかるんですが、0!が1というのがどうもわかりません。0!=1というのが証明出来る方どうかお願いします。

Aベストアンサー

階乗はもともと自然数についてのみ定義されたものですから,
それを自然数以外に拡張するときは階乗の重要な性質とつじつまが合うように
拡張するのが筋だと言うことになります.

階乗の重要な性質が zooom さんの書かれている
n!=n×(n-1)!
で,これはもちろん n>2 でないと意味がありませんが,
n=1 でも成り立つと思えば 0!=1 としないとつじつまがあいません.
そういう意味では maruru01 さんの「決め事」です.

拡張はたいていこの精神でやるわけで,x^(-2) などでも同じです.
もともとべき乗は自然数でないと意味がありませんでしたが,
べき乗の重要な性質
x^(m-n) = x^m÷x^n  (m>n)
を m<n まで成り立つとすると,x^(-2) = 1/x^2 などとなるわけです.

余談ですが,部分積分をご存知なら
(1)  Γ(n) = ∫{0~∞} e^(-t) t^(n-1) dt
という積分を考えてみてください.
部分積分で
(2)  nΓ(n) = Γ(n+1)
が簡単に得られます.(2)で n の代わりに n+1 と書くと
ですが,Γ(n+1) のことを Π(n) と書くことにしますと(2)は
(3)  nΠ(n-1) = Π(n)
となって,Π(1)=1 (これは(1)からすぐわかります)とあわせて
Π(n)はまさに n! になっています.

(1)で n は任意の実数としても大丈夫ですから,
こういう風にすると n! の n が任意の実数 x に拡張できたことになります.
さらに,任意の複素数 z に対しても拡張できます.

(1)の Γ(z) はガンマ関数としてよく知られています.
大学の理工系に行くと,必ずと言っていいほどお目にかかるでしょう.

階乗はもともと自然数についてのみ定義されたものですから,
それを自然数以外に拡張するときは階乗の重要な性質とつじつまが合うように
拡張するのが筋だと言うことになります.

階乗の重要な性質が zooom さんの書かれている
n!=n×(n-1)!
で,これはもちろん n>2 でないと意味がありませんが,
n=1 でも成り立つと思えば 0!=1 としないとつじつまがあいません.
そういう意味では maruru01 さんの「決め事」です.

拡張はたいていこの精神でやるわけで,x^(-2) などでも同じです.
もともとべき...続きを読む

Q数IIIグラフ・漸近線に関する質問です。

いつもお世話になり、ありがとうございます。今回も宜しくお願い致します。

今回は問題ではなく、私自身の疑問についてなのですが、数IIIのグラフを描く際に求める漸近線についてです。

例えば、f(x)=(x^2+x-5)/(x-2)のグラフの漸近線を求める場合、
f(x)=(x+3) + {1/(x-2)} という形に変形させて、漸近線はy=x+3とx=2だと求められると思います。

そこで質問なのですが、漸近線の関数は上のように必ず1次関数なのでしょうか。

解いていた問題の中で、

y= x^2 + (1/x^2) のグラフを求める問題があって、この場合、1/x^2という分数関数の前のx^2は漸近線になるのではないかと思いました。
理由は、x→∞のとき、{f(x)-x^2}→0 になるからです。
でも、(確実に私の経験不足ですが)いままでに漸近線は1次関数以外見たことがないため、私が間違っているのか分からず困っています。

数IIIのグラフを描く際の漸近線は必ず1次関数までなのでしょうか。

お手数をおかけしますが、宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

漸近線の定義に1次関数に限るとは決して書いていません。いかに高校数学といえどもそんなに理不尽ではありません。教科書をよく見なおしてください。

>y= x^2 + (1/x^2) のグラフを求める問題があって、この場合、1/x^2という分数関数の前のx^2は漸近線になるのではないかと思いました。

その通りです。似たような話がurlに出ています。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BC%B8%E8%BF%91%E7%B7%9A

Q0の階乗

学校で0の階乗は1と習いましたが先生がめんどくさいと言って証明してくれませんでした(泣
だれか証明の仕方分かる人いませんかぁ??

Aベストアンサー

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97

証明はしていないけれど、考え方として参考になるかな?

きちんと理屈まで理解して先に進みたいという意欲は
すばらしいですね。(^^)
これからも、勉強がんばってください。

Q漸近線について

「Y=1/x+logxのグラフをかけ」という問題で、グラフの増減表は書くことができるのですが漸近線の求め方がわかりません。回答にはY軸が漸近線だと書いてありlim x→0(1/x+logx)の1/xをtとおき回答してありました。そこで1/xをtと置かずに「lim x→0(1/x+logx)」を解き漸近線がY軸であると導びこうとしたのですがうまくいきません。どう考えればよいか教えてください。また漸近線を求める場合はいろんな場合を計算してみて初めて、どれが漸近線だ、と分かるのですか。それとも問題をみてすぐに分かるものなのでしょうか。お願いします。

Aベストアンサー

lim x→0(1/x+logx)を求めるのは難しいですね。
まずは1/xをくくり出して、
1/x・(1+xlogx)

(1/x)→∞なので、xlogxが何か値に収束すればy軸が漸近線だといえます。

(xlogx)→0なのですが、これを説明するのは難しく、結局、x=1/tとおいて「はさみうちの原理」を使うことになります。

x→0よりもt→∞の方が極限が考えやすいので、このように置き換えるんだな、と思ってください。

Qにゃんこ先生の自作問題、二重階乗の逆数和Σ[n=0,∞]1/n!!

にゃんこ先生といいます。

Σ[n=0,∞]1/n!=e
ですが、
Σ[n=0,∞]1/n!!

Σ[n=0,∞]1/(2n!!)

Σ[n=0,∞]1/n!!!
などなどについて、具体的な値や、無理数かどうかなどの性質で知られていることはあるのでしょうか?
自作問題というより素朴な疑問です。

Aベストアンサー

母関数を考えるとイイですね。
exp(x) = Σ[n=0,∞] (x^n)/n! という関数をよく知っているから、
Σ[n=0,∞] 1/n! = exp(1) = e が分かる。

各 n について (2n)!! = (2^n)(n!) が成り立つので、
Σ[n=0,∞] 1/(2n)!! = Σ[n=0,∞] { (1/2)^n }/n! = exp(1/2) = √e
も同様ですね。

もし、Σ[n=0,∞]1/n!! が収束するならば、
f(x) = Σ[n=0,∞] (x^n)/n!! の右辺は 1 以上の収束半径を持つので、
この範囲では項別微分できて、df/dx = Σ[n=1,∞] n{x^(n-1)}/n!!
= 1 + Σ[n=2,∞] x{x^(n-2)}/(n-2)!! = 1 + x f と整理できます。
exp(-x^2/2) df/dx - x exp(-x^2/2) f = exp(-x^2/2) と変形して、
両辺を積分すれば、exp(-x^2/2) f = ∫exp(-x^2/2) dx。
f(0) = 1 から、右辺の積分定数が決まって、
exp(-x^2/2) f = 1 + ∫[t=0,x] exp(-t^2/2) dt。
よって、
Σ[n=0,∞] 1/n!! = f(1) = exp(1/2) { 1 + ∫[t=0,x] exp(-t^2/2) dt }。

母関数を考えるとイイですね。
exp(x) = Σ[n=0,∞] (x^n)/n! という関数をよく知っているから、
Σ[n=0,∞] 1/n! = exp(1) = e が分かる。

各 n について (2n)!! = (2^n)(n!) が成り立つので、
Σ[n=0,∞] 1/(2n)!! = Σ[n=0,∞] { (1/2)^n }/n! = exp(1/2) = √e
も同様ですね。

もし、Σ[n=0,∞]1/n!! が収束するならば、
f(x) = Σ[n=0,∞] (x^n)/n!! の右辺は 1 以上の収束半径を持つので、
この範囲では項別微分できて、df/dx = Σ[n=1,∞] n{x^(n-1)}/n!!
= 1 + Σ[n=2,∞] x{x^(n-2)}/(n-2)!! = 1 + x f...続きを読む

Q斜めの漸近線について

方程式のグラフを書くときに、分子の多項式の次数が、分母の多項式の次数よりも大きい時のみ、斜めの漸近線を考えれば良いと思っていたのですが、ある問題の解答を見ると、x + arctan(x)のグラフの時も、斜めの漸近線を求めて、それをグラフに書いています。

どのようなときに斜めの漸近線を考えるべきなのでしょうか?

Aベストアンサー

どんなときに書くべきか決まってはいないでしょうが。

x + arctan(x)
の漸近線は、arctan(x)の形を思い浮かべればすぐにわかるわけで、書き加えるのはたいした手間ではない。

一番丁寧には、漸近線が存在するか調べて、存在するなら書けばよいのでは。
f(x) - (ax + b) が、x→∞で、0に近づくような実数a,bが存在するかを調べればよい。

Q0^0(0の0乗)、多項式0の次数、便宜的に定義するとき、しないとき

0^0(0の0乗)についての議論が活発ですが、

0^0(0の0乗)を定義しないとき、と、便宜的に1とするとき

多項式としての0の次数を定義しないとき、と、便宜的に-∞とするとき

それらがどのような場合なのかを具体的に教えていただきたいです。

(整数ではなく)自然数に関するある事実があったとして、0を含めるときと0を含めないときの、それぞれの事例はありますでしょうか?

あと、便宜的な定義という観点で、他の事例があれば教えていただきたいです。

Aベストアンサー

定数式 0 の次数が「 -1 」は流石にありえないでしょう。
それでは、1/x の立つ瀬が無い。
かなり無理やりですが、他の定数式と同じく 0 次にしてしまう
スタイルもあったかと思います。


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング