１＋１はなぜ２なのか？

大学で
１＋１はなぜ２なのか
ということを学ぶと聞いたのですが本当ですか？
本当だったら中学生にもわかりやすく教えてください！

No.5 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2007/02/21 07:16

　 ANo.2でリンクされている質問の回答を書いた者です。

あれは、質問者さんがなかなか応答してくれなくて、何度も回答が削除になったりしたからホント往生しました。しかも結局、納得してもらえるところまで行かなかったような気がしています。
　で、再度チャレンジ。中学生にもわかりやすく、というご注文ですが、こういうことに興味を持つだけのことはあるカシコイ中学生、という限定にしても、やっぱり難しすぎてしまいそうだし、読む方はもっと大変でしょう。是非、どこが分からないか補足質問してださい。
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　はじめに、「定義」という言葉がお分かりになるでしょうか。「ある新しい用語を使い始めるときに、その意味をはっきり定めるために宣言をする」というほどのことです。

　では、まだ「数」という用語がなく、1,2,3だとか+という用語もない。そういう状態から出発です。

[イ] 数という用語を定義します。
[イ-1] 0 は数である。
（0とはどんな意味か、ということはどうでもいいんです。ここでは、「数というものは、『0は数である』と言える、という性質を持っているんだぞ」ということだけを宣言しています。）

[イ-2] aが数のとき、a’は数である。(←★注1)
（記号(’)はどんな意味か、ということはどうでもいいんです。ここでは、「数というものは、『aが数なら、a’も数である』と言える、という性質を持っているんだぜ」ということだけを宣言しています。
　以下、「数」という用語は、「0は数である」と言う時と、「aが数なら、a’も数である」と言う時にだけ使います。だから、0って何だ、(’)って何だ、数って一体なんなんだ、ということを知らなくても構わない。従って、そんなことは決めなくても良い。決めていないのだから、そういう質問をされても答えはない、ってことになります。）

[ロ] 1, 2, 3, 4, 5 という用語を定義します。
[ロ-1] 1とは0’のことである。
（1は「0’を略記したもの」ということであり、1=0’です。[イ-2]より、0が数のとき、0’は数です。そして[イ-1] より、0は数です。だから、0’は数です。[ロ-1] で、この数0’を１と略記することに決めたのです。だから、「1は数である」と言えます。）

[ロ-2] 2とは1’のことである。
（2は「1’を略記したもの」ということであり、2=1’です。[イ-2]より、1が数のとき、1’は数です。そして[ロ-1] より、1は数です。だから、1’は数である。[ロ-2] で、この数1’を2と略記することに決めたのです。だから、「2は数である」と言えます。）

[ロ-3] 3とは2’のことである。
[ロ-4] 4とは3’のことである。
[ロ-5] 5とは4’のことである。

も同様。（←★注2）

[ハ]+という用語を定義します。
+ は、以下の二つの性質を満たす関数である。（←★注3）
aが数であるとき、a + 0 = a…(A)
aとbが数であるとき、a + b’ = (a + b)’ …(B)

（他にも定義の仕方はあります。）

[ニ]例題
ためしに、2+3=5を証明しよう。

2+3
= 2+2’ ([ロ-3]による）
=(2+2)’ ([ハ](B)による）

カッコの中に現れた2+2をやる。
2+2
= 2+1’ ([ロ-2]による）
=(2+1)’ ([ハ](B)による）

カッコの中に現れた2+1をやる。
2+1
= 2+0’ ([ロ-1]による）
=(2+0)’ ([ハ](B)による）

カッコの中に現れた2+0をやる。
2+0
= 2 ([ハ](A)による）

以上から、
2+3 = (2+2)’ = ((2+1)’)’ = (((2+0)’)’)’ = ((2’)’)’ = (3’)’ = 4’ = 5
であることが証明できた。

（1+1がどうなるかは簡単でしょう。）

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注釈
★注1： こうやって作った数が、どれも別のものでないと困ります。例えば、もし0’=0だったら、
1 = 0’ = 0
だから、これでは普通の「かず」とは全然違うものになってしまいます。だからきちんとやるには、「1は0とは違う、2は0とも1とも違う、3は0,1,2のどれとも違う、…」と言えるような「aの次の数a’」の作り方を、具体的に決めておかねばなりません。（作り方の説明には、集合についての初歩的な知識が必要です。）

★注2：有限個の、小さい数だけ考える分にはこれで良いのです。ただし、この先を幾ら続けて行っても、いつまで経っても数（自然数）全部を定義することはできません。ここが実は、数というものを数学の中で作り出す際に一番難しい部分なんです。

★注3:「(A)(B)の性質を満たす関数だなんて、そんな都合のいいものはないよ」ということだってありうるのです。だからきちんとやるには「 (A)(B)の性質を満たす関数、というものが確かに存在する」という事を証明しなくてはなりません。これも大変な部分であり、ここでは説明しません。
　さて、関数というと、f(x)のように書くのが普通です。その書き方に合わせれば、
x+y
とは、２変数関数
+(x,y)
の略記法だと考えることができます。"+"が関数の名前（fの部分）です。

この回答へのお礼

大変詳しい説明ありがとうございます
なんとなくわかったような気がします
でも、中学生に５分でわかったといったら
数学に関係するすべての人に失礼ですね。
数学の世界の深さをしれただけでもよかったです。
本当にありがとうございます
また、何かあったらお願いしますね！

お礼日時：2007/02/21 16:21

No.10 回答者： tenntennsevengoo 回答日時： 2007/02/27 23:55

ビックリしないで下さいね。

１＋１は2じゃないんです。
１＋１＝？です。
なぜなら基準値が無いからです。
数学の問題で「リンゴ１つともう一つリンゴをテーブルに置いたら
リンゴは幾つでしょう。」という問題が出たら
2個と答えちゃだめですよｗ
答えは「判りません。」
ですよｗ

この回答へのお礼

そうなんですか。
複雑だっっ！

お礼日時：2007/02/28 20:37

No.9 回答者： o_tooru 回答日時： 2007/02/25 21:33

こんばんは、疑問はつきませんね。

さてご質問の件ですが、知り合いの数学科の出身の奴に質問したことがあります。色々な切り口があるとは思いますが、そいつに言わせると。

１個と1個を足すと二個になるけど。１個と１時間を足しても、2個にもならないし、2時間にもならない。単位が大事なんです。小学校でも最初は、必ず単位とともに教わったはずです。

とのたまわっていました。私自身、数学は高校で投げた口ですが、結構感心してしまいました。

この回答へのお礼

単位ですか。
ありがとうございます！

お礼日時：2007/02/28 20:39

No.8 回答者： a-saitoh 回答日時： 2007/02/22 17:12

質問者さまは、なぜ自分の名前が　なぜC_Ronaldoであるか説明できますか？結局「そう決めたから」以上の説明は出来ないと思いますが。

この質問は「なぜ自然数の最初の数は１なの?(０ではじめる流儀もありますが)」という質問と同根ですね。

数(石ころの数でも羊の引数でも)を数えるときに
日本は
いち、に、さん、・・
中国は
一、二、三、・・・
イギリスは
one,two,three・・・・
を使うことに(なんだかしらないけど歴史的経緯で)なりました。
このような、ものの数を数える「自然数」と後に呼ばれることになる数体系が出来ると必然的に、『「いち」を加える』という操作の結果は、自然数を順に並べたときの「次の数」になります。１の次の数は２です。
羊が１匹いるところにもう一匹連れてきたらあわせて２匹です。（母羊が出産したとか言うのは別にして)、一匹と一匹を足して３匹になったり０匹になったりはしません。２匹です。

なぜ自然数において「＋１」が「次の数」なのかは、自然数がそういう数体系だからと回答するしかないと思います。これは多くの回答者様が答えているとおりです。

別の観点でいうと、1+1は、何らかの定まった数値になります。なぜ毎回違った数にならずに何回１＋１を計算しても必ず同じ答えが得られるのかと、聞かれると困ってしまうのですが。
で、なぜそれが２なのか、ですが、アラビアの数字の「二」に相当する文字(７を左右逆にしてちょっと曲げたような形)が、ヨーロッパに伝わっていくときに文字の形が変わって、「２」というアヒル形になったから、と言うのが答えです。

一部の部族では、1+1が2ではなくて１０になる(といっても、アラビア数字を使ってるわけではないのですが)と聞いたことがあります。これは十になるということではなく、２進法を使っているのだとか。東南アジアのどこかだったかなぁ。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%A9% …

この回答へのお礼

ながい文をありがとうございます
そういうことですね

お礼日時：2007/02/22 23:10

No.7 回答者： 16August 回答日時： 2007/02/21 19:58

No2です。

　あまり、納得されていないようなので

数という概念は、数学という学問ができる前からありました。
その段階での１+１というのは、２であってそれは、数学とは関係なく普通にそうでした。　（ただし社会によっては、１+９は１０ではなく「たくさん」が正解のところもありました。）

数学というものは、そのような数のいろいろな法則が成り立つ理論的な法則をいっぱい並べたものです。　これは、今まで認められたすべて他の法則に矛盾しないようなものだけが新しい法則として認められるという理論の世界です。　

「１＋１＝２」がなぜ成り立つのかを考えると

１という数の定義
＋というオペレーションの定義
２という数の定義
＝という記号の定義
によりそうなるようになっている。

１+１がもし２でなかったら、その先にある数学の論理が成り立たなくなってしまう。　　足し算が成り立たなくなるか、数字の順番が成り立たなくなるか、、、、
そうなってくると引き算も成立たなくなり、買い物してもおつりの計算など誰もできなくなります。　これはみんな困ります。

というわけで、学問というのは現実を何らかの形で表現する方法の一種であり、１+１が２になったのは、昔からそうだったので急にそうでなくなるとみんな困るので、学問的にはそうなるように定義を行った。

ということでいかがでしょうか？　数学を離れて数十年たっていますのであいまいな部分が多くて申し訳ありません。

この回答へのお礼

ありがとうございます
よくわかりました

お礼日時：2007/02/22 23:09

No.6 回答者： himara-hus 回答日時： 2007/02/21 12:02

どうして、そんなに難しく考えないといけないのでしょうか？

数字を１，２，３，・・・と定義し、＋は加える（足す）ことと定義したら、１個のりんごに１個のりんごを加えて数を数えたら、どうなりますか？　１，２で２になりますよね。
後は、それを九九のように覚えるだけ。１＋１＝２、３＋５＝８というよに。

この回答へのお礼

まぁ、そうなんですが・・・。

お礼日時：2007/02/21 16:22

No.4 回答者： quantum2000 回答日時： 2007/02/20 22:19

このテーマは，文系の方や中学生の方などから，繰り返し質問されているようですが，

「１」とは何か，とか，「＋」とは何か，といった厳密な議論よりは，
「１＋１」も１つの数を表すので，その数を「２」という記号で表す，
という説明でどうでしょうか？

つまり，「１＋１＝２は定義だ！（定義より直ちに示される！）」ということ．
（繰り返し議論されている過去の質問の，数多くの回答の中でも見受けられますが・・・）

やはり，これでは納得しませんか？

この回答へのお礼

ありがとうございます
まぁ、深く考えてもダメですかね

お礼日時：2007/02/21 16:18

No.3 回答者： a-saitoh 回答日時： 2007/02/20 20:37

数論は、大学で習うといえば習いますが、全員が習う必修の中には入っていないと思います。

理系でもたいていの学科は線形と解析くらいしかやりません。

この回答へのお礼

そうですか。
ありがとうございます

お礼日時：2007/02/21 16:17

No.2 回答者： 16August 回答日時： 2007/02/20 20:07

よくある質問です。

1+1=2
で検索してみてください。　

個人的には、
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=217225
が好きですが、中学生でわかりやすい回答ではないですね。

この回答へのお礼

数学の世界は広くて深いですね！
ありがとうございます！

お礼日時：2007/02/21 16:16

No.1 回答者： AVENGER 回答日時： 2007/02/20 20:07

１＋１＝２について

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa1394649.html

１＋１＝２は公理？
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa1225829.html

この回答へのお礼

ありがとうございます
参考にさせていただきます

お礼日時：2007/02/21 16:10