べき集合と部分関数

以下の問題の解答をお願いします。

1≦ｎなる自然数ｎに対し、１からｎまでの自然数の集合をS=｛1,2,...,n｝で表す。
{a,b,c}からべき集合2sへの部分関数は全部で何個存在するか？

No.1 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/07/02 21:08

ポイントは、「部分関数」という用語の定義かな？

集合 X から Y への「部分関数」とは、
X の部分集合を定義域とする Y への関数のことを言う。

X の全ての元について定義されていなくてもよい訳で、
X を定義域、Y ∪ { 「未定義」 } を値域とする写像
みたいなもんだと考えても良い。

集合 X から Y への写像は |Y| ^ |X| 通り存在するから、
{ a, b, c } から Y ∪ { 「未定義」 } への写像は
(|Y| + 1) ^ 3 通り。
Y が S のベキ集合なら、|Y| = 2 ^ |S| = 2^n。

結局、(2^n + 1)^3 個となる。