型指定子についての教えてください。

コンパイラはMicrosoft visual C＆C++を使用しています。
(1)型指定子のfloat,doubleの大きい数値について。
計算をするとfloatは7桁までは正しくて、7桁より大きい桁はデタラメです。doubleは15桁までは正しくて、15桁より大きい桁はデタラメです。有効数字7桁,15桁とはこういうことでしょうか。
後、floatは有効数字7桁、doubleは有効数字15桁で本当に正しいのでしょうか。
(2)型指定子のfloat,doubleの小数点以下の数字について。
floatは10^-38まで、doubleは10^-308までの数字を扱えると参考書には書いてありますが、計算をしますと小数点以下6桁までは求まりますが、それ以下は求まりまりません。それ以下の数値はすべて0になります。なぜでしょうか。
(3)int,long intとdouble long doubleの違いについて。
intとlong intはともに-2147483648～2147483647までの範囲だと思います。またdoubleとlong doubleはともに有効数字15桁でした。何か違いがあるのでしょうか？

No.4 回答者： jacta 回答日時： 2009/07/10 13:24

まだ出ていない内容だけ回答します。

> intとlong intはともに-2147483648～2147483647までの範囲だと思います。またdoubleとlong doubleはともに有効数字15桁でした。何か違いがあるのでしょうか？

C++では、仮に精度や符号の有無などの特性が同じであっても、あくまでも別の型として扱われます。具体的には、多重定義やテンプレートの解決の際に、型の違いが活きてきます。
C++の型は、ある意味で値と同じぐらいの意味を持ちます。

No.3 回答者： chie65535 回答日時： 2009/07/10 12:33

＞計算をするとfloatは7桁までは正しくて、7桁より大きい桁はデタラメです。

＞doubleは15桁までは正しくて、15桁より大きい桁はデタラメです。

デタラメではありません。「表現可能な範囲での、最も近い値」です。

＞(1)型指定子のfloat,doubleの大きい数値について。

IEEE 754-2008の規格に沿った４バイトfloat、８バイトdoubleの場合、仮数部のビット数はそれぞれ２４ビット、５３ビットです。指数部はそれぞれ８ビット、１１ビットです。

floatの仮数部が２４ビットの場合、表現出来るのは「（０～２の２４乗－１）×（２のｎ乗）、但しｎは－１２６～＋１２７」です。

doubleの仮数部が５３ビットの場合、表現出来るのは「（０～２の５３乗－１）×（２のｎ乗）、但しｎは－１０２２～＋１０２３」です。

floatの場合の「２の２４乗－１」は「１６７７７２１５」ですから、実質的に「０～９９９９９９９に、２のｎ乗を掛けたもの」しか表現できません。つまり「１０進数で７桁だけ」が有効です。

doubleの場合の「２の５３乗－１」は「９００７１９９２５４７４０９９２」ですから、実質的に「０～９９９９９９９９９９９９９９９に、２のｎ乗を掛けたもの」しか表現できません。つまり「１０進数で１５桁だけ」が有効です。

＞(2)型指定子のfloat,doubleの小数点以下の数字について。
floatで「２の１０乗」と「２の－１０乗」を足し算するとどうなるでしょうか？

まず、指数と仮数に分けます。「１×２の１０乗」と「１×２の－１０乗」になります。

次に、指数部を同じにしないと、足し算出来ません。

指数部が小さい方を大きい方に合わせる為「１×２の－１０乗」の仮数部を２の２０乗で割って、指数部に２０を加算します。

「１×２の－１０乗」と「０．５×２の－９乗」が等しいのは判りますね。

１を２の２０乗で割ると０．００００００９５３６７４３１６４０６２５です。－１０に２０を足すと１０です。従って「１×２の－１０乗」は「０．００００００９５３６７４３１６４０６２５×２の１０乗」になります。

２つの数値が「１×２の１０乗」と「０．００００００９５３６７４３１６４０６２５×２の１０乗」になれば、指数部が同じですから、仮数部を足し算できます。

結果「１．００００００９５３６７４３１６４０６２５×２の１０乗」になります。

これを２進数で書くと以下のようになります。

　　 1.00000000000000000000×2の10乗
＋）1.00000000000000000000×2の-10乗
　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　 ？？？？？？？？？？？？？？
　　　　　　　　　　　↓
指数部が違うので、指数部を同じにする。
　　　　　　　　　　　↓
　　 1.00000000000000000000×2の10乗
＋）0.00000000000000000001×2の10乗
　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　 1.00000000000000000001×2の10乗

この計算が可能なのは「仮数部が２４ビットあったから」です。

では、floatで「２の１３乗」と「２の－１３乗」を足し算するとどうなるでしょうか？

先ほどと同様に、２進数で書くと以下のようになります。

　　 1.00000000000000000000000000×2の13乗
＋）1.00000000000000000000000000×2の-13乗
　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　 ？？？？？？？？？？？？？？
　　　　　　　　　　　↓
指数部が違うので、指数部を同じにする。
　　　　　　　　　　　↓
　　 1.00000000000000000000000000×2の13乗
＋）0.00000000000000000000000001×2の13乗
　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　 1.00000000000000000000000001×2の10乗

この足し算の結果をfloatの値にすると、仮数部は２４ビットなので、上から２４ビットだけが残り、２５ビット目以降は「消えて無くなって」しまいます。

と言うより、足し算する前に「仮数部が足りなくて、足す数がゼロになってしまう」のです。

先ほどの２進数の加算で、仮数を２４ビットにすると、以下の[]の中身は「精度不足で無くなってしまう」のです。

　　 1.0000000000000000000000[0000]×2の13乗
＋）1.0000000000000000000000[0000]×2の-13乗
　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　 ？？？？？？？？？？？？？？
　　　　　　　　　　　↓
指数部が違うので、指数部を同じにする。
　　　　　　　　　　　↓
　　 1.0000000000000000000000[0000]×2の13乗
＋）0.0000000000000000000000[0001]×2の13乗
　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　 ？？？？？？？？？？？？？？

　　　　　　　　　　　↓
仮数が２４ビットなので[]の中身が消えてしまう。
　　　　　　　　　　　↓
　　 1.0000000000000000000000×2の13乗
＋）0.0000000000000000000000×2の13乗
　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　 1.0000000000000000000000×2の13乗

求まる答えは「ゼロを加算した値」です。

つまり「大きい値に小さい値を足したり引いたりしても、アンダーフローして、ゼロを足したり引いたりしてしまう」のです。

＞(3)int,long intとdouble long doubleの違いについて。
＞intとlong intはともに-2147483648～2147483647までの範囲だと思います。
それは「intもlong intも、符号１ビット＋数値３１ビットの、３２ビット整数」と仮定した時だけです。

「符号１ビット＋数値３１ビット」と仮定した時、２の３１乗は２１４７４８３６４８なので、正は「１×２の３１乗－１」、負は「－１×２の３１乗」まで、つまり「－２１４７４８３６４８～２１４７４８３６４７」の範囲を表現できます。

この「数値３１ビット」は、float、doubleの「仮数部○○ビット」に相当します。

前述の有効桁数の部分で書きましたが、以下のようになります。

floatの場合「２の２４乗－１」は「１６７７７２１５」です。つまり「１０進数で７桁」です。

doubleの場合「２の５３乗－１」は「９００７１９９２５４７４０９９２」です。つまり「１０進数で１５桁」です。

int、long intの場合「２の３１乗－１」は「２１４７４８３６４７」です。

すべて「２進数で考えて」下さい。「ホゲホゲ×２のホニャララ乗」が基本です。

この回答への補足

ご回答ありがとうございました。
(1),(3)については分かりました。
(2)についてもう一度お伺いしたいのですが、私が計算した値はとても大きい数ととても小さい数ではなくて10^-8程度の値どうしの演算でした。もう少し正確に言いますと。0.000000という答えでした。
足した値が0になってしまうということではなくて、答えが0.000000になってしまうという状況なのですが、よろしければご回答よろしくお願いします。

補足日時：2009/07/11 15:47

No.2 回答者： phoenix343 回答日時： 2009/07/09 23:47

(1)

floatは４バイト、doubleは８バイト
このうち符号、実数部、指数部にビットを割り当てているため
値として持つのはfloatは23bit、doubleは52bitなので
自然と有効桁数は限られます。

(2)
1.024 => 1.024 x 10^0
1024. => 1.024 x 10^4
この違いは指数(10の何乗)だけですよね？
この指数というのが、floatの場合±38、doubleの場合±308ってだけなんです。
だから有効桁数を越えるとすべて０になるのですね。

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2009/07/09 23:28

（１）sizeof(float)やsizeof(double)の値、つまり、

float型やdouble型のために何バイトの領域を割り当てているかによって、
有効数字の桁数は違ってきます。

（２）どんな計算をしましたか？そのときのソースコードを正確に提示してください。

（３）sizeof(int)とsizeof(long int)が同じならば、
int型とlong int型で扱える数値の範囲は同じです。
doubleとlong doubleの関係も同様です。

この回答への補足

回答ありがとうございました。
(2)についてですが以下のようなプログラムを書きました。
#include <stdio.h>
int main()
{
float a,b;
printf("a+b,a-bの計算を行うプログラム。\n");
scanf("%f %f",&a,&b);
printf("a+b=%f,a-b=%f\n",a+b,a-b);
}
a,bの値に0.000000033556 0.000000012556という値を入力したところ
a+b=0.000000 a-b=0.000000という答えでした。
floatをdoubleに変えても同様の答えでした。
ぜひ回答よろしくお願いします。

補足日時：2009/07/11 15:48