コーシーの積分定理に関する問題

現在コーシーの積分定理に関する問題をやっています。教科書や参考書・ウエブサイトなどを見ているのですが、あまり理解できません。もしよければ教えていただけないでしょうか。現在やっている問題は画像のほうに載せます。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/08/06 00:13

>教科書や参考書・ウエブサイトなどを見ている

>コーシーの積分定理
ではなくて、コーシーの積分公式の方です。

コーシーの積分公式を当てはめるだけの簡単な問題ですから、積分公式を眺めていれば出来ると思います。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC% …

一位の極Z=aがCの内部（半径1の円内）に入っていれば
積分値は積分公式のf(a)を使って 2πif(a)　となります。
２．z=0がC内の一位の極なので　2πie^0=2πi

４．z=1/2がC内の一位の極なので　2πi(1/2)=πi

５．z=1/2がC内の一位の極なので 2πi(1/2)sin(π/2)

６．これは cos(πz)/(2z-1)^2を z=1/2の周りにローラン展開して、
　　一位の極の項を求めてやらないといけない。
　　cos(πz)をz=1/2の周りにTaylor展開して、(2z-1)^2で割ってやれば
　　一位の項が求められます。（一位の項の分子を留数といいf(a)に該当　　します）　→ f(a)=f(1/2)=-π/4 → 2πif(a)

コーシーの積分公式とローラン展開とテーラー展開を良く勉強して積分を理解するようにしてください。

この回答へのお礼

丁寧に教えていただきありがとうございます！なんとなくですが理解できるようになりました。ホント助かりました。

お礼日時：2009/08/06 10:52