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今回は、ラグランジュの未定乗数法について少々お聞きしたいのですが、
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/derivativ …
のラグランジュの未定乗数法の説明のところで、("A_x"でAをxで偏微分することを意味している)
制約条件をG( x , y , z )=0 、( a , b , c )で、極致を求めたい関数をF(x , y , z )としておくと、
このとき、G( x , y , z )=0 から、z が x , y の関数になっているとすると、関数F は
x , y の関数になるので、( a , b , c )において、
F_x+F_z・z_x=0 、 F_y+F_z・z_y=0
が成り立つ。
ここで、z_x 、z_y は、次の式により与えられる。
G_x+G_z・z_x=0 、 G_y+G_z・z_y=0
そこで、( a , b , c )における -F_z/G_z の値を、λ とおくと、 F_z+λG_z=0 が成り立ち、
さらに、F_x+λG_x=0 、 F_y+λG_y=0 が成り立つ。
したがって、4つの式 G=0 、F_x+λG_x=0 、F_y+λG_y=0 、F_z+λG_z=0 を解くことにより、極値を与える候補の点( a , b , c )が求められる。
と、記載されているのですが、
G( x , y , z )=0 から、z が x , y の関数になっているとすると、関数F はx , y の関数になるので、( a , b , c )において、
F_x+F_z・z_x=0 、 F_y+F_z・z_y=0
が成り立つ。
ここで、z_x 、z_y は、次の式により与えられる。
G_x+G_z・z_x=0 、 G_y+G_z・z_y=0
の部分の、
F_x+F_z・z_x=0 、 F_y+F_z・z_y=0
と、
G_x+G_z・z_x=0 、 G_y+G_z・z_y=0
の式はどのようにして出てきているのでしょうか?
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
そのサイトのノーテーションでは添え字が偏微分を意味しているようなので z_x = ∂z/∂x。
zをx,yの関数z=z(x,y)とするとF(x,y,z) = F( x, y, z(x,y) )なのでFをx,yの二変数関数F(x,y)として偏微分すると
(∂F(x,y)/∂x)_y = (∂F(x,y,z)/∂x)_yz + (∂F(x,y,z)/∂z)_xy・(∂z/∂x)_y = 0
このサイトのノーテーションに従って
∂F/∂x → F_x, ∂F/∂z → F_z, ∂z/∂x → z_x
と書き換えれば質問の式になります。
この回答への補足
この、
F_x+F_z・z_x=0
は、Fをx,yの関数と見なした場合、zもxの偏微分の対象となるから、
∂F(x,y,z(x,y))/∂x=∂F/∂x+(∂F/∂z)(∂z/∂x)
となるということだったんですね。
どうも有り難うございました。
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