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x+y+z=21,1≦x≦10,1≦y≦10,1≦z≦10をみたす整数x,y,zの組は何通りあるか。
わからなかったので解答を見たのですが、わからなかったので質問させていただきます。
解答では、
X=10-x,Y=10-y,Z=10-zとして
X+Y+Z=9 0≦X,Y,Z≦9
として、以下続いていきます。
なぜこのようになるのかが理解できません。考えれば考えるほどこんがらがってしまいました。重複組み合わせは理解しているつもりなのですが、重複組み合わせにいたるまでのこの過程で詰まっています。
典型的な問題なのでしょうが・・・分かりやすい解説をお願いします。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
以下の形にすると、9つの球を3人(X、Y、Z)でわける(もらわない人がいてもいい)場合になります。
X+Y+Z=9 0≦X,Y,Z≦9 さえ求まれば、
○○○●○○○○●○○ →X(3個)、Y(4個)、Z(2個)
○○○●●○○○○○○ →X(3個)、Y(0個)、Z(6個)
と考えて、11C2=55(通り)が簡単に求まります。
上の式にもっていけばあっさり出せると分かっているので、
どうにかして(何としても)(無理にでも)変形しているわけです。
あくまでも、
0≦X,Y,Z≦9
がほしいわけです。
x(小文字)は1以上10以下ですから、
X(大文字)が0以上になるには
X=10-x
とするしかない。この式を思いつくかどうかが(場合分けを簡単にすませるための)分かれ目です。
これを小文字のxyzでやると、少なくとも一個はもらえる場合の分け方で、
(21-3+2)C2=20C2=190
ですが、11個以上もらえる場合を引かねばならなくなり、とんでもなない計算になります。
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No.3
- 回答日時:
X+Y=Aとする A≦20
X+Y+Z=A+Z
Z=1のときA=20 このとき(X,Y)は(10,10)の1通り
Z=2 A=19 (10,9)と逆もありで2通り
Z=3 A=18 (9,9)・(10,8)と逆で3通り
Z=4 A=17 (10,7)と逆・(9,8)と逆で4通り
Z=5 A=16 (10,6)と逆・(9,7)と逆・(8,8)で5通り
Z=6 A=15 (10,5)と逆・(9,6)と逆(8,7)と逆で6通り
Z=7 A=14 (10,4)と逆・(9,5)と逆・(8,6)と逆(7,7)で7通り
Z=8 A=13 (10,3)と逆・(9,4)と逆・(8,5)と逆・(7,6)と逆で8通り
Z=9 A=12 (10,2)と逆・(9,3)と逆・(8,4)と逆・(7.5)と逆・(6,6)で9通り
Z=10 A=11 (10,1)と逆・(9,2)と逆・(8,3)と逆・(7,4)と逆・(6,5)と逆で10通り
全部足して、55通り
これを、式で工夫してあるだけです。
自分がわかりやすい方法で、理解できれば大丈夫です。
No.2
- 回答日時:
「うまい工夫」をしているというのが答えでしょうか。
そのまま重複組み合わせ(球を箱に選り分ける)を使おうとすると、xが10よりも大きくなる場合も数えてしまいます。
これは、x≦10の条件を満たさなくなります。y,zについても同様です。
「単純に」選り分けてもいいように、X,Y,Zを選んでいるということです。
No.1
- 回答日時:
1<=x<=10なので11<=y+z<=20。
y+z=11のとき、yは1から10の値をとり得る(10通り)
y+z=12だと2から10(9通り)
y+z=13だと3から10(8通り)
・・・・
y+z=20だと10(1通り)
よって条件を満たすyとzの組み合わせは(10+1)*10/2=55通り。
従ってx、y、zの組み合わせもこれと同数で55通り。
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