数学の質問です。微分の勉強をしていると・・・

「えっ？」と思う問題に遭遇してしまいまして。

【問題】
定円に内接する長方形のうちで、面積が最大のものを求めよ。

【解答】
正方形

というものです。
詳しい導出過程が記載されていない教科書なので、どうして正方形が定円に内接する長方形のうちで面積が最大になるのか、その過程と結論が全くわかりません(>_<)

似たような疑問↓
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

もあったのですが、どう応用すればよいのやら・・・そもそも「定円」とは、普通の「円」と違うのでしょうか？
Googleで定円を検索しても、鎌倉時代の人物とかが出てきてしまいまして・・・その謎も残ったままです。

よろしくお願いします(>_<)

No.2 回答者： Rice-Etude 回答日時： 2009/09/24 01:23

なぜ微分のところで出てきたのかが謎ですが...

答えを直接書くのは何なので、ヒントを書いておきます。

１．ターレスの定理
２．対角線の長さと対角線同士の交点での角度が分かっている場合の長方形の面積（三角関数を使って...）

がんばって考えてみてください。

この回答へのお礼

ターレスの定理は、以下のリンク先を参考にして、わかりました。
http://www.rd.mmtr.or.jp/~bunryu/syoumei1.shtml
円に内接する長方形の対角線は必ず円の中心を通る。
つまり、円に内接する長方形の対角線の長さは、円の直径となる。
そして、直径の両端から円周上の1点に線を引いて三角形を作れば、必ず直角三角形になる・・・

といった感じだと思われます。

で、Rice-Etudeさんが添付してくださった画像を参考にすると、∠αが作る三角形は、二等辺三角形になっているようでして。

答えは「正方形」なので、α=90°であれば、∠αが作る三角形は直角二等辺三角形となり、辺の比は1:1:√2になるらしいですね↓
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …
つまり半径をrとすれば、1辺が√2rの正方形の時に、面積は最大だと。

問題は、その事実をどうやって導くかですが・・・

すいません、お暇な時に、もう少しヒントをいただけないでしょうか？(>_<)
三角関数を使って、「面積は正方形の時に最大になる」と、どうして判明するのかわかりません・・・(ToT)

お礼日時：2009/09/26 11:44

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2009/09/24 01:00

>そもそも「定円」とは、普通の「円」と違うのでしょうか？

「ある一定の円」といった程度の意味です。

>どうして正方形が定円に内接する長方形のうちで面積が最大になるのか、
>その過程と結論が全くわかりません(>_<)
計算するだけです。どうってことありません。

この回答へのお礼

定円についてはわかりました、ありがとうございます！
でも、「計算するだけ」というのは・・・何の式を計算すればよいのかわかりません(>_<)

お礼日時：2009/09/26 11:35