n番目のフィボナッチ数をFnとします。このとき、
1/F1F2-1/F2F3+1/F3F4-1/F4F5+…
=1-1/2+1/6-1/15+…
を求めたいのですが、どうやって求めればよいでしょうか?
パソコンで計算したところ、(-1+√5)/2に収束するらしいことは分かったのですが、その証明が分かりません。
出来れば早めに回答を頂きたいです。

A 回答 (1件)

F(n+2)F(n)-F(n+1)^2=(-1)^(n-1)・・・★


という関係式を使えば、一般項は、
(-1)^(n-1)/F(n)F(n+1)
={F(n+2)F(n)-F(n+1)^2}/F(n)F(n+1)
=F(n+2)/F(n+1)-F(n+1)/F(n)
となるので、部分和が簡単になって、級数の和は
結局フィボナッチ数列の二項間の比の極限値を
求めることになります。
★の関係式は、フィボナッチ数列の漸化式
F(n+2)=F(n+1)+F(n)
を行列で表現すると、
F(n+2) F(n+1)
F(n+1) F(n)
なる行列をA(n)、
1 1
1 0
なる行列をBとすると、
A(n)=B・A(n-1)
となるので、
A(n)=B^(n+1)
となり、両辺の行列式をとると、
F(n+2)F(n)-F(n+1)^2=(-1)^(n+1)=(-1)^(n-1)
となって出ます。
この途中計算で、F(0)=0としています。
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    • 0
この回答へのお礼

なるほど、その通りに計算すると、確かに
1/F(1)F(2)-1/F(2)F(3)+1/F(3)F(4)-1/F(4)F(5)+…
=(F(3)/F(2)-F(2)/F(1))+(F(4)/F(3)-F(3)/F(2))+(F(5)/F(4)-F(4)/F(3))+(F(6)/F(5)-F(5)/F(4))+…
=-F(2)/F(1)+lim[n→∞](F(n+1)/F(n))
=-1+(1+√5)/2
=(-1+√5)/2
となりました。こんなにうまくいくとは驚きです。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/09/25 23:26

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Qフィボナッチ数列とひまわり

数学Bの宿題で「フィボナッチ数列とひまわり」
について調べなさいという宿題が出たのですが
自分で頑張って調べたのですがフィボナッチ数列
についてはいろいろなHPに載ってるんですが
フィボナッチ数列とひまわりとなると
ほとんど載ってませんでした。
なのでフィボナッチ数列とひまわりについて
教えてください。

Aベストアンサー

ひまわりの種の並び方が螺旋状にフィボナッチ数列の
数だけ並んでいるという事ですね。
(21個とか34個とかですね)
だから、ひまわりの写真や現物で実際に種が中心から
螺旋状に並んでいる数が本当にフィボナッチ数列にある
数に合っているかということを調べるという事になり
ますね。
フィボナッチ数列は自然界の植物などの規則的な
配列を表しているものです。
(木の枝分かれの仕方もそうですね)
面白そうな宿題ですね。頑張って調べて下さい。
検索サイトで探す場合は「フィボナッチ ひまわり」
とキーワードを入れると結構いろいろヒット
しますよ。
一応、僕が分かりやすいと思ったサイトのURLを
以下に載せておきます。

参考URL:http://www002.upp.so-net.ne.jp/kurita/zatudan119.htm

QF₁(x)=3x²+6x,Fn+1(x)+1/2∮₀¹Fn(x)dxで定める。An (x)= ∮₀¹

F₁(x)=3x²+6x,Fn+1(x)+1/2∮₀¹Fn(x)dxで定める。An (x)= ∮₀¹Fn(x)dx とおく。An+₁をAnで表せ。nは項数?です。
回答はこれなんですけど、Anをなぜそのまま積分できるのですか?こいつxの関数を積分した値ですよね?めっちゃくちゃになりませんか?すいません、式見にくいと思いますがお願いします…>_<…

Aベストアンサー

f_n(x) は x の関数ですが,
それを区間 0≦x≦1 で積分した a_n = ∫[0→1] f_n(x) dx は, 定数です.
したがって, 定数だと思って積分すればよいのです.

>An (x)= ∮₀¹Fn(x)dx とおく

この問題文は正確ですか?
上に書いた通り, a_n は定数なので, 「a_n = ∫[0→1] f_n(x) とおく」と書くのが普通で, 「An (x)」という表記は不自然であるように思います.

Qフィボナッチ数列を使ったプログラミング

プログラミング初心者です。
フィボナッチ数列を使ったプログラミングのお題が出ましたが、
このフィボナッチ数列(学校で習った記憶がありません)につまづき、
途中まで書いたプログラムが正しいか、どこか抜けいているのか、わからなくなってしまいました。
アドバイス頂けると幸いです。

お題)
整数を入力後、フィボナッチ数とフィボナッチ数の合計を計算して表示せよ。
なお、整数3以下の場合を入力した際は、エラーメッセージ”3以上を入力”を表示する。
*最初2項は、フィボナッチ数は1、1となる。


下記、スードコードで書いてみたドラフトです。フィボナッチ数列の式の中に出てくるnがindexを意味すると解釈し、index=n=0としたのですが、、


Fibonacci

Declare num, Fibonacci number As integer
num=0
fibN=0
index=n=0
sum=0
Prompt num
Get num
If(num<=3)
Display”Error : whole number must be greater or equal to 3.”
Else
For(index=2; index<=num; index++)
fibN=(1.0/sqrt(5))*(pow(1+sqrt((5))/2.0,n)-pow((1-sqrt(5))/2.0,n))
Display fibN
EndFor
Display sum=sum+finN
EndIf

END


アドバイス、およびサンプルのプログラミングも掲載して頂けると幸いです。
なにせ初心者なので、わかりやすく説明頂けると有難いです。
よろしくお願い致します。

プログラミング初心者です。
フィボナッチ数列を使ったプログラミングのお題が出ましたが、
このフィボナッチ数列(学校で習った記憶がありません)につまづき、
途中まで書いたプログラムが正しいか、どこか抜けいているのか、わからなくなってしまいました。
アドバイス頂けると幸いです。

お題)
整数を入力後、フィボナッチ数とフィボナッチ数の合計を計算して表示せよ。
なお、整数3以下の場合を入力した際は、エラーメッセージ”3以上を入力”を表示する。
*最初2項は、フィボナッチ数は1、1となる。


...続きを読む

Aベストアンサー

http://eow.alc.co.jp/pseudo+code/

ですから,言語の種類は問わないんですね。

私がさっとコーディングできる,ある言語で書かれたサンプルプログラムを提示しておきます。

class Fibonacci {

  public static void main(String args[]) {
    int num = Integer.parseInt(args[0]);
    if (num <= 2) {
      System.out.println("Error");
      System.exit(1);
    }
    int sum = 0;
    for (int index = 1; index <= num; index++) {
      int fibN = fibo(index);
      System.out.print(fibN + " ");
      sum = sum + fibN;
    }
    System.out.println("\n" + sum);
  }

  public static int fibo(int n) {
    if (n <= 2) {
      return 1;
    }
    else {
      return fibo(n - 2) + fibo(n - 1);
    }
  }
}

http://eow.alc.co.jp/pseudo+code/

ですから,言語の種類は問わないんですね。

私がさっとコーディングできる,ある言語で書かれたサンプルプログラムを提示しておきます。

class Fibonacci {

  public static void main(String args[]) {
    int num = Integer.parseInt(args[0]);
    if (num <= 2) {
      System.out.println("Error");
      System.exit(1);
    }
    int sum = 0;
    for (int index = 1; index <= num; index++) {
      int fibN = fib...続きを読む

Qexp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

フィボナッチ数列F[n]は、
F[1]=1,F[2]=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n]
で定義され、リュカ数列L[n]は、
L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

Aベストアンサー

↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf

Qフィボナッチ数列と生物

フィボナッチ数列が生物に時々みられると聞きました。
その理由は何なんでしょうか?

Aベストアンサー

同一の大きさの「要素」が最も稠密に並ぶとき、最密充填が出来ないとフィボナッチ数列にならざるを得なくなります。
有名なのはヒマワリの種の配列。中心から外へ回転して並ぶという前提があるとき最密充填にはなれないので、フィボナッチ数列になってしまいます。
最密充填になれるとき蜂の巣状の配列になります。この場合最初の一マスの周りに同時に同じ大きさのマスが作られるためにフィボナッチ数列から逃れられます。

Q1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^(n-1)...

1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^(n-1)...

は、n→∞のとき2に収束するでしょうか。

また、2に収束するならば、その証明もわかりやすくご教授お願いします。

Aベストアンサー

答えを書かないのは意地悪ではないからね^^;

宿題だったり、自分で考えて勉強することが大事だから ヾ(@⌒ー⌒@)ノ

単純に 2 には収束しないと思うけれど。

No.1さんと同じです。

等比数列の和を 教科書で捜してください。

公比はいくつでしょう? 初項はいくつですか?

さすがにこれ以上はかけないです。もう答えになってしまいます。

そうすると、あなたがやられていることは、数学の問題を解くことではなく、

カンニングになってしまいます><

だから僕らもかけないんですよ>< ご理解ください。

絶対に載っていますから! 必ず解けるから。

自信もってね。 がんばってください! m(_ _)m

Qフィボナッチ数列

フィボナッチ数列に素数は無数に含まれているのでしょうか。

Aベストアンサー

Wikipedia によると
わかっていない
んだってさ.

Qf(x)=A(x-2)(x-3)(x-4)+B(x-1)(x-3)(x-4)+C(x-1)(x-2)(x-4)+D(x-1)(x-2)(x-3)

(問題)xの三次関数f(x)があって、f(1)=1,f(2)=4,f(3)=9,f(4)=34であるとき、f(5)を求めなさい。

解答は別解がいろいろあったのですが、そのうちの一つがわかりませんでした。それは次のように書いてありました。

f(x)=A(x-2)(x-3)(x-4)+B(x-1)(x-3)(x-4)+C(x-1)(x-2)(x-4)+D(x-1)(x-2)(x-3) のように置くと、A,B,C,Dが容易に求めることができる。

なぜこのように表せるのか、どうしてこう思いついたのか、わかりません。考え方を教えてください。よろしくお願いいたします。答えはf(5)=97です。

Aベストアンサー

ranx さんの言うように、
x=1, x=2, x=3, x=4 の場合の解が与えられているので、
その際にどれかがゼロになるように、式を与えれば、
あとは、連立一次方程式で、元が4個で方程式が4本
なので、簡単に解けるわけです。

それぞれ代入した式4本を書いてみればわかると思います。解けるでしょ?
最後まで解かなくても、f(5) は、A,B,C,D を使って
出すことはできますね。

Qフィボナッチ数列って何ですか?

なんか明日テストがあってそれにフィボナッチ数列ってのが出るらしくいろんなのを読んだりしましたが意味がわかりません。どうかなるべく早くわかりやすく教えてください(>_<)

Aベストアンサー

 数列 {a(n)}(n = 1,2,3,...)について,漸化式
  a(n + 2) = a(n + 1) + a(n)
  a(1) = a(2) = 1
を満たす数列です。順に,
  1,1,2,3,5,8,13,21,34,……
となります。単純ではありますが,一般項は,x の正の平方根を sqrt(x),x の y 乗を x^y と書くとして,
  a(n) = (1 / sqrt(5))・[{(1 + sqrt(5)) / 2}^n - {(1 - sqrt(5)) / 2}^n]
というややこしい形をしています。
 この数列,n が大きいと,a(n) と a(n + 1) の比が,美しいといわれる「黄金比」に近づくという,なんとも不思議な性質を持っています。

 その他の性質については,参考 URL のページが詳しいと思います。

参考URL:http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/fibonacci/fibonacci.htm

QF_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} の因数分解

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^2)

のようなのですが、(b+c)(c+a)(a+b)を因数に持つことは分かりますが、残りの因数はどうやってもとめるのでしょうか?

一文字を変数と見て、地道に割り算するしかないのでしょうか?
効率的な計算方法はありますでしょうか?

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^...続きを読む

Aベストアンサー

最後までは計算していませんが、次の方法でできそうです。
F_n = (b+c)(c+a)(a+b)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) とおきます。
(ここで、A+B+C = 2n+1 です。)
展開すると、F_n = (a^2 b + 略 + 2abc)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) です。
そして、F_n を例えば、a で A+2 回偏微分、a で B+1 回偏微分、
a で C 回偏微分、した後、a,b,c に 0 を代入します。
F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} に対しても同じようにします。
このようにすると、例えば C > 0 であれば、
k_ABC (A+2)!(B+1)!(C)! = (2n+1)! となり、係数が得られます。


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