9.99……と10が等しくなる理由を教えてください。

　朝早く失礼いたします。
　質問タイトルだけでは質問内容が推測しにくいため、ここで質問内容を書きます。

　ｘ＝０．９９９……とおきます。
　（……は無限に９が続くということです）
　すると、

　１０ｘ＝９．９９……
　　　ｘ＝０．９９……

　ゆえに
　　９ｘ＝９
　　　ｘ＝１

　と、言うことは０．９９９……と１は等しいのでしょうか。
　皆さんの知恵をお貸しください。よろしくお願いします。

No.7 ベストアンサー 回答者： Trick--o-- 回答日時： 2009/09/28 08:56

0.333...は1/3を小数で表したもの

ゆえに、0.333... = 1/3
0.999... = 0.333... * 3 = 1/3 * 3 = 1
0.999... = 1
ほら、等しい。

0.999... に最後の9は存在しない。
なぜなら、「最後」があっては「無限」ではなくなるから

1 を小数で表すと 1.000... となる
1.000... - 1 = 0.000... = 0
1 - 0.999... = 0.000... = 0
と考えれば、やはり 0.999... = 1 だということがわかる

この回答へのお礼

　朝の回答お疲れ様です。
＜1 を小数で表すと 1.000... となる
1.000... - 1 = 0.000... = 0
1 - 0.999... = 0.000... = 0
と考えれば、やはり 0.999... = 1 だということがわかる＞
　びっくりしました。このような考え方をしたことがありませんでした。
　本当にありがとうございました。

お礼日時：2009/09/28 09:56

No.6 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/09/28 08:52

タイトルにある「～が等しくなる」の「なる」が、

勘違いの源だと思います。
等しく「なる」「ならない」の問題ではなく、
最初から等しいものとして定義されて
いるか・いないかが、問題の本質だからです。

0.9 や 0.99 のような有限小数なら、
定義は明確ですが、
0.999… とは、どんな数でしょう？
それは、どのように定義されているのでしょうか。
貴方がやっている (0.999…)×10 や
(9.99…)-(0.999…) の計算が、
正当化されるような定義なのでしょうか？
正体の分からない文字の並びとしての
0.999… に対しては、10 倍とか
引き算とかの操作を施す方法がありません。
例えば、10 倍するとき、末尾の繰り上がりは
どうなるんですか？

では、数学では通常どうしているかと言うと、
0.999… なる文字列の意味は、
0.9, 0.99, 0.999, … という等比級数の極限だと定義しているのです。
それが、慣習です。
値は、1 ですね。

この定義があって、はじめて、
(0.999…)×10 などの計算が意味を持つ
訳ですから、質問文中の「証明」は、
カマトトと言うか、何を持って廻った話
なんだか… という印象です。

この回答へのお礼

　朝の投稿お疲れ様です。
　＜貴方がやっている (0.999…)×10 や
(9.99…)-(0.999…) の計算が、
正当化されるような定義なのでしょうか？＞
　確かにその通りです。正当化されているとは証明されてい無いと思います。
　ちなみにこの問題（？）は高校の数学の先生から出されました。
　ありがとうございます。とても参考になりました。

お礼日時：2009/09/28 09:53

No.5 回答者： nitho_t 回答日時： 2009/09/28 07:53

下記の議論をご参考ください。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...

この回答へのお礼

　朝早くの回答ありがとうございます。
　wikipediaにそのような項目があったこと自体が驚きです。わざわざ項目を探してくださり、本当に助かりました。
　論理が事実を曲げることさえある。ここまで来ると哲学の話になってしまうかもしれません。
　大変参考になりました。ありがとうございました。

お礼日時：2009/09/28 09:49

No.4 回答者： shintaro-2 回答日時： 2009/09/28 07:50

非常に興味深いです。

ｘ＝１／３の場合、0.3333・・・と続くわけで
9x=3となり、元に戻ります。

x=8/9の場合、0.8888・・・と続き
9x=8となり、元に戻ります。

x=0.999・・・・の場合のみ成立しないわけで、
x=1ではないことはあきらかなのに、x=1となってしまうのは
分数で表せないものを、割り算で求めようとするから矛盾が生じるのかと思います。
x=0.9999・・・は
明らかに0.3333・・・の3倍ですが、
定義では0.333・・・・は1/3であって、
3倍すると１になることになってます。

この回答へのお礼

　朝早くお疲れ様です。
　lim
　ｎ→∞　
という極限の考え方を使うとなんとかなるのかと試行錯誤したのですが……私の力では及びませんでした。
　＜分数で表せないものを、割り算で求めようとするから矛盾が生じるのかと思います。＞
　確かにおっしゃるとおりです。分数で表せないからこそ、矛盾が生じるのかもしれません。
　ありがとうございました。

お礼日時：2009/09/28 09:43

No.3 回答者： syu1958 回答日時： 2009/09/28 07:37

「X」を、どんな数字に置き換えてみても同じだと思います。

＞　１０ｘ＝９．９９……
＞　　　ｘ＝０．９９……

＞　ゆえに
＞　　９ｘ＝９
＞　　　ｘ＝１

こうなってしまう理由が判りません・・・。
補足戴けると助かります。

この回答へのお礼

　朝早くお疲れ様です。
　回答番号：No２の方が良い補足を載せてくれています。
　一応説明しておくと、
　　１０ｘ＝９．９９……
－　　　ｘ＝０．９９……
―――――――――――――――
　　　９ｘ＝９
　　　　ｘ＝１

と、いうことです。
ちなみにｘは数字ではなく、ただの記号と考えたほうが良いと思います。
　ありがとうございました。

お礼日時：2009/09/28 09:37

No.2 回答者： TanakaHiro 回答日時： 2009/09/28 07:32

>　１０ｘ＝９．９９……

>　　　ｘ＝０．９９……

の下に、

(10x-x)=9.999…-0.999…
9x=9

という式が続くんですね。

(1÷3)×3=0.999…

みたいなものですね。



・・・あ、回答になっていませんでした。どうもお邪魔しました。

この回答へのお礼

　朝早くお疲れ様です。
＜(10x-x)=9.999…-0.999…
9x=9＞
という補足を入れてくださり、ありがとうございます。

＜(1÷3)×3=0.999…＞
も確かに矛盾？していますね。
分数を考えれば、{（１÷３）×３｝＝１となるのですが。
２番目の式は生まれて初めて知りました。

ありがとうございました。

お礼日時：2009/09/28 09:32

No.1 回答者： 21s-a 回答日時： 2009/09/28 05:57

ｘ＝0.99……

ゆえに　９x＝９　ですか？

たとえば　x＝0.9999999999だとして
　　　　９x＝8.9999999991ですよね？
　　　　９x≒９にはなりますが　９x＝９になることは決してないと思いますが？
もっと深い次元の話でしたらお邪魔して申し訳ございませんでした。

この回答へのお礼

　早速の回答ありがとうございます。
　お邪魔どころかあなたが回答してくださったことに感謝しています。参考になりました。

お礼日時：2009/09/28 09:27