

等式(x→1)lim(x^2+ax+b/x^2+x-2)=-1
この問題に、説明がありました。
x→1の時、分母→0だから、有限な極限値-1となるためには、分子→0となる必要がある。
これは、いったいどういうことなんでしょうか?
xを限りなく1に近づけたとき、極限値は-1。
分子分母が0とは、何のことかわかりません。
確かに、分母が0にならないようにすると、分子を(x-1)で割ると、a+b+1と余りがでます。このあまりが、0でないと、(x-1)が消えないので困りますが、説明のような言い回しが理解できないので困ってます
独学で勉強してるので、知識をお借りしたいです。よろしくおねがいします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(x^2+ax+b)/(x^2+x-2)=(x^2+ax+b)/{(x-1)(x+2)}
分母は(x-1)という因数を持ちますのでx→1とすれば分母→0となります。
このとき、分子→0にならない、つまり定数に近づけば
定数/0の状態になって極限値は∞または-∞になります。
こうならないための必要条件が x→1で 分子→0
ということです。
つまり、分子→1+a+b=0 でなければならない(必要条件)。
必要条件が成立するとき b=-1-a …(■) なので
===(■)が必要条件===
分子=(x^2+ax+b)=(x^2+ax-1-a)=(x-1)(x+a+1)
このとき 分子分母は(x-1)で割り切れて
分子/分母=(x+a+1)/(x+2)
x→1で
分子/分母→(a+2)/3 なので、この極限値が「-1」となればよい。
(a+2)/3=-1 → a+2=-3 → a=-5
(■)から b=4
こうして求められた a=-5, b=4
を元の極限の式にが代入して題意の条件を満たせば必要十分条件ということになる。
lim[x→1](x^2+ax+b)/(x^2+x-2)=lim[x→1](x-5x+4)/{(x-1)(x+2)}
=lim[x→1] (x-1)(x-4)/{(n-1)(x+2)}
=lim[x→1] (x-4)/(x+2)=(1-4)/(1+2)=-3/3=-1
と確かに-1になり題意の条件を満たしている。
No.5
- 回答日時:
>x→1の時、分母→0だから、有限な極限値-1となるためには、分子→0となる必要がある。
この部分だけ解説を、
lim[x→a]{f(x)},lim[x→a]{g(x)}がどちらも収束するとして、その極限値をF,Gとすると
lim[x→a]{f(x)*g(x)} = lim[x→a]{f(x)}*lim[x→a]{g(x)} = F*G
が成り立ちます。
今、lim[x→1]{(x^2+ax+b)/(x^2+x-2)}とlim[x→1]{x^2+x-2}はどちらも収束して、それぞれの極限値は-1と0ですから、
lim[x→1]{(x^2+ax+b)/(x^2+x-2) * (x^2+x-2)} = -1*0 = 0
lim[x→1]{(x^2+ax+b)} = 0
よって分子が0に収束することが必要条件として導かれます。
私は、『分母が0なんだから分子も0じゃなかったら発散する』とかの感覚的な説明より、このように式で示された方が納得できるのですが。
No.4
- 回答日時:
x-1=tとすると、x→1の時 t→0 。
x=t+1から、分母=x^2+x-2=t*(t+3)、分子=x^2+ax+b=t^2+(a+2)*t+(a+b+1)となる。
ここで、t→0とした時、(分子)/(分母)={t^2+(a+2)*t+(a+b+1)}/{t*(t+3)} が -1という有限確定値を持つから、分母のtが消える事が必要。
そこで、分母のtに0を代入すると、a+b+1=0である事が必要。‥‥(1)
そうすると、(分子)/(分母)={t+(a+2)}/{(t+3)}となり、t→0とすると、この極限値が-1から、(a+2)/(3)=-1から、a=-5.この時、4.
但し、これはあくまで必要条件に過ぎないから、(a、b)=(-5、4)を最初の条件式に代入して、極限値が -1になる事の十分条件の確認が必要。
No.1
- 回答日時:
>xを限りなく1に近づけたとき、極限値は-1。
>分子分母が0とは、何のことかわかりません。
もとの式ではx→1なら分母はゼロに行きます。だからx→0の時分子がゼロ以外の値になるのでしたら、この分数は必ず発散します。分子と分母がゼロになって行くなら有限の値に収束する可能性があります。
質問者さんもまさに同じ結論へたどり着いています。
(x^2+ax+b)/(x^2+x-2)=(x^2+ax+b)/{(x+2)(x-1)}
={1/(x+2)}{x+a+1+(a+b+1)/(x-1)}...(1)
です。そのあまりの分子a+b+1がゼロであれば与えられた分数はx→1の時(1/3)(a+2)に収束し、その他の時は発散してしまうことが分かります。ということは分子をx-1で割ったあまりはゼロでなければならない、つまり分子はx-1という因数をもつ、即ち分子はx→1の時ゼロである、という結論になります。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 有限な値を取るための条件って一般化できるのでしょうか 6 2022/08/25 15:45
- 数学 数3の極限の問題です。 ①lim(x→1) 2/(x-1)^2 ②lim(x→2) 3/x^2-3x 2 2022/11/30 10:26
- 数学 【完全微分方程式⠀】 分数で分母が0になり定義できない場合、分母を仮にtと置いてそれを極限t→0とし 1 2022/05/06 14:43
- 数学 数Ⅲ、無限等比数列の問題についてです。 極限を調べる問題で、 場合分けのうちの |r|>1 の時、 3 2022/11/12 10:19
- 数学 写真の(2)の問題の、赤枠の部分についてですが、 「このとき、極限値が0であるので、1-a²=0」と 3 2023/02/05 16:28
- 数学 関数の極値と微分係数の関係について 6 2023/04/23 14:35
- 数学 高3の微分についての質問です。 ある説明に「数学IIで扱ったのは多項式関数で、この時極限値は必ず存在 6 2023/07/02 10:04
- 数学 数学Ⅲの関数の極限、関数の連続・不連続に関しての質問でございます。 問題集には、次の関数の〔 〕内の 5 2022/05/19 10:43
- 数学 微分の意味ついて質問が有ります 4 2023/04/05 23:17
- 数学 モデルのパラメータの定義がいまいちわかりません。 3 2022/10/11 15:16
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
プラスとマイナスが混在した時...
-
「分母を大きく」の意味
-
分母にルートが来るとき有理化...
-
x=√5+2分の1、y=√5-2分の1のとき
-
アンケートの複数回答での割合...
-
【数学】パソコンの数学の分子...
-
数学 分母にルートの分数がある...
-
数3の数列の極限で、有利化をす...
-
なんで分母のdは二乗にならない...
-
分母・分子について質問があり...
-
~に比べて十分大きいので無視...
-
分母って何?
-
分母に引き算がある場合について
-
有理化しないといけない問題と...
-
このΣの計算の場合、Σ[j=1〜n...
-
中学数学についてです!
-
整数を分数に変える方法を教え...
-
資料解釈の問題で使用する分数...
-
word(2010)の数式入力で間違え...
-
数学で分数の分母がゼロの式が...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
「分母を大きく」の意味
-
数学 分母にルートの分数がある...
-
アンケートの複数回答での割合...
-
有理化しないといけない問題と...
-
プラスとマイナスが混在した時...
-
数3の数列の極限で、有利化をす...
-
質問です。 -3の逆数って何で...
-
分母・分子について質問があり...
-
相関係数を計算しています。 そ...
-
分数にマイナスをつける場合
-
中学数学についてです!
-
【数学】パソコンの数学の分子...
-
全部で何個のうち、今あるのは...
-
なぜ√2分の10が5√2になるのです...
-
分母って何?
-
√の計算
-
単位換算を教えてください
-
5'7って何センチ?
-
分数 a/(a+b) の分母からaを消...
-
画像のように分母に『-』がつ...
おすすめ情報