極限と係数決定

Question

等式(x→1)lim(x^2+ax+b/x^2+x-2)=-1

この問題に、説明がありました。

x→1の時、分母→0だから、有限な極限値-1となるためには、分子→0となる必要がある。

これは、いったいどういうことなんでしょうか？
xを限りなく1に近づけたとき、極限値は-1。
分子分母が0とは、何のことかわかりません。

確かに、分母が0にならないようにすると、分子を(x-1)で割ると、a+b+1と余りがでます。このあまりが、0でないと、(x-1)が消えないので困りますが、説明のような言い回しが理解できないので困ってます

独学で勉強してるので、知識をお借りしたいです。よろしくおねがいします。

info22 · Accepted Answer

(x^2+ax+b)/(x^2+x-2)=(x^2+ax+b)/{(x-1)(x+2)}
分母は(x-1)という因数を持ちますのでx→1とすれば分母→0となります。
このとき、分子→0にならない、つまり定数に近づけば
定数/0の状態になって極限値は∞または－∞になります。
こうならないための必要条件が　x→1で　分子→0
ということです。
つまり、分子→1+a+b=0　でなければならない（必要条件）。

必要条件が成立するとき　b=-1-a …(■) なので
===(■)が必要条件===

 分子=(x^2+ax+b)=(x^2+ax-1-a)=(x-1)(x+a+1)

このとき 分子分母は(x-1)で割り切れて
　分子/分母=(x+a+1)/(x+2)
x→1で
　分子/分母→(a+2)/3 なので、この極限値が「-1」となればよい。
　(a+2)/3=-1 → a+2=-3 → a=-5
(■)から b=4
こうして求められた a=-5, b=4
を元の極限の式にが代入して題意の条件を満たせば必要十分条件ということになる。
lim[x→1](x^2+ax+b)/(x^2+x-2)=lim[x→1](x-5x+4)/{(x-1)(x+2)}
=lim[x→1] (x-1)(x-4)/{(n-1)(x+2)}
=lim[x→1] (x-4)/(x+2)=(1-4)/(1+2)=-3/3=-1
と確かに-1になり題意の条件を満たしている。

proto · Answer

＞x→1の時、分母→0だから、有限な極限値-1となるためには、分子→0となる必要がある。
この部分だけ解説を、

lim[x→a]{f(x)},lim[x→a]{g(x)}がどちらも収束するとして、その極限値をF,Gとすると
　　lim[x→a]{f(x)*g(x)} = lim[x→a]{f(x)}*lim[x→a]{g(x)} = F*G
が成り立ちます。

今、lim[x→1]{(x^2+ax+b)/(x^2+x-2)}とlim[x→1]{x^2+x-2}はどちらも収束して、それぞれの極限値は-1と0ですから、
　　lim[x→1]{(x^2+ax+b)/(x^2+x-2) * (x^2+x-2)} = -1*0 = 0
　　lim[x→1]{(x^2+ax+b)} = 0
よって分子が0に収束することが必要条件として導かれます。

私は、『分母が0なんだから分子も0じゃなかったら発散する』とかの感覚的な説明より、このように式で示された方が納得できるのですが。

mister_moonlight · Answer

x-1＝tとすると、x→1の時　t→0　。
x＝t＋1から、分母＝x^2+x-2＝t*（t＋3）、分子＝x^2+ax+b＝t＾2＋（a＋2）*t＋（a＋b＋1）となる。
ここで、t→0とした時、（分子）/（分母）＝{t＾2＋（a＋2）*t＋（a＋b＋1）}/{t*（t＋3）}　が　-1という有限確定値を持つから、分母のtが消える事が必要。
そこで、分母のtに0を代入すると、a＋b＋1＝0である事が必要。‥‥(1)
そうすると、（分子）/（分母）＝{t＋（a＋2）}/{（t＋3）}となり、t→0とすると、この極限値が-1から、（a＋2）/（3）＝-1から、a＝-5.この時、4.
但し、これはあくまで必要条件に過ぎないから、（a、b）＝（-5、4）を最初の条件式に代入して、極限値が　-1になる事の十分条件の確認が必要。

NovaYou · Answer

問題の表記を正確に記載願います。
左辺は、
分子...x^2+ax+b
分母...x^2+x-2→(x+2)(x-1)（xが-2または1のとき0になる）
でいいのでしょうか？
また、右辺-1とありますが、
こうなるためのaとbを求めろ、ということですか？

jamf0421 · Answer

>xを限りなく1に近づけたとき、極限値は-1。
>分子分母が0とは、何のことかわかりません。

もとの式ではx→1なら分母はゼロに行きます。だからx→０の時分子がゼロ以外の値になるのでしたら、この分数は必ず発散します。分子と分母がゼロになって行くなら有限の値に収束する可能性があります。

質問者さんもまさに同じ結論へたどり着いています。
(x^2+ax+b)/(x^2+x-2)=(x^2+ax+b)/{(x+2)(x-1)}
={1/(x+2)}{x+a+1+(a+b+1)/(x-1)}...(1)
です。そのあまりの分子a+b+1がゼロであれば与えられた分数はx→1の時(1/3)(a+2)に収束し、その他の時は発散してしまうことが分かります。ということは分子をx-1で割ったあまりはゼロでなければならない、つまり分子はx-1という因数をもつ、即ち分子はx→1の時ゼロである、という結論になります。

極限と係数決定

(x^2+ax+b)/(x^2+x-2)=(x^2+ax+b)/{(x-1)(x+2)}

＞x→1の時、分母→0だから、有限な極限値-1となるためには、分子→0となる必要がある。

x-1＝tとすると、x→1の時 t→0 。

問題の表記を正確に記載願います。

>xを限りなく1に近づけたとき、極限値は-1。

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