これもわかりません・・・

Ｃ：ｙ＝ｌｏｇｘ上に２点Ｐ、Ｑをとる。
いま線分ＰＱの長さをｌとするとき、線分ＰＱとＣの囲まれた面積Ｓが最小となるとき
Ｓをｌで表せ。
ただし０＜ｌ＜３で１≦ｘ≦５とする

すみませんみなさん宜しくお願いいたします。

No.6 回答者： mmky 回答日時： 2003/05/13 00:00

追伸まで

S(p,q)= q*log(q)-p*log(p)-(q-p)-(1/2)*(q-p)*(log(q)-log(p))
これちょっと違いましたね。
-(1/2)*(q-p)*(log(q)+log(p)) でしたね。
＃５は修正が必要ですね。ごめん。でも結論は同じです。

No.5 回答者： mmky 回答日時： 2003/05/12 15:51

参考程度の追伸まで

P(p,log(p)), Q(q,log(q)), 1≦p<q≦5とする。

{I(q,p)}＾2=(q-p)＾2+(log(q)-log(p))＾2 =r＾2
x＾2=(q-p)＾2, y＾2=(log(q)-log(p))＾2
x>0, y=√{r＾2-x＾2}>0

S(p,q)= q*log(q)-p*log(p)-(q-p)-(1/2)*(q-p)*(log(q)-log(p))
=q*log(q)-p*log(p)-(q-p)-(1/2)*(q-p)*(log(q)-log(p))
=(1/2)(q-p){log(q)-log(p)}-(q-p)
=(1/2)xy-x　：x=(q-p), y={log(q)-log(p)}
つまり、
S(x,y)=(1/2)xy-x =(1/2)x(y-2)を
x＾2+y＾2=r＾2≡I＾2 の条件で
Sを最小にするにはという問題になりますね。
ところが面積Sを最小にするにはx→0　か　y→2
のどちらかですね。y→2の解は少なくともx=e＾2=7.39
以上のxの条件が必要なんですが与えられた条件は
1≦x≦5 なのでないんですね。そこでx→0の方向に
進んでしまうんですね。x→0, y→0　でとまらない
状態になってしまうんですね。という問題ですね。
それでもという場合は、
y=√{r＾2-x＾2} を代入して、
S=（1/2)x√{r＾2-x＾2} -x
dS/dx=(1/2){√{r＾2-x＾2}-x＾2/√{r＾2-x＾2}}-1
=0
√{r＾2-x＾2}-x＾2/√{r＾2-x＾2}=2
{r＾2-x＾2}-x＾2=2*√{r＾2-x＾2}
r＾2-2x＾2=2*√{r＾2-x＾2}
r＾4-4r＾2*x＾2+4x＾4-4{r＾2-x＾2}=0
=4x＾4-4x＾2(r＾2-1)+4r＾2(r＾2-1)=0
z=x＾2
z＾2-z(r＾2-1)+r＾2(r＾2-1)=0
z=(1/2){(r＾2-1)±√((r＾2-1)＾2-4(r＾2-1))}
=(1/2){(r＾2-1)±(r＾2-1)√(1-4/(r＾2-1))}
0<x＾2, 1<r＾2
x＾2=(r＾2-1)+(1/2)√(1-4/(r＾2-1))}
(1/2)√(1-4/(r＾2-1))＜1
x＾2＜r＾2　
だから(q-p)=x＜ｒ, 0<r<3
のどこでも面積Sは最小になるということでしょうか。

No.4 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2003/05/07 20:49

＃３の訂正です．

＞題意の面積Sをlの関数として表し，PQを動かしてSの最小値を求めよという話だと思います．

「PQ＝lが一定という条件下で点P,Qを動かしたときの面積Sの最小値をlの式で表す」でした．
訂正させて下さい．

この回答へのお礼

こんにちは。oshiete_gooさん。

＞それならば問題としては意味がありますが，実際に求めるとなると，ラグランジュの未定乗数法？
（使ってもよろしいのでしょうか）

えぇと・・・ラ、ラグ、ラグランジェ？？ですか？聞いたこと無いですボクは・・・。すみませんボクが理解できないような気が・・・。

＞「PQ＝lが一定という条件下で点P,Qを動かしたときの面積Sの最小値をlの式で表す」でした．
訂正させて下さい．

訂正どうもありがとうございます。なるほど・・・ボクははじめにP(p,logp), Q(q,logq)とおいて、l=√{(p-q)^2 + (logp - logq)^2}という式を立てたんですがこれだとp,qを変数としてみてることになり、結果的にlも変数となりますね。。。ここが落とし穴だったのかも・・・。直接lでSを表せるんですか？ボクはやってみてもできませんでした。

お礼日時：2003/05/08 00:08

No.3 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2003/05/07 19:28

＞線分ＰＱの長さをｌとするとき

PQ＝l が与えられた任意定数（固定）として
題意の面積Sをlの関数として表し，PQを動かしてSの最小値を求めよという話だと思います．

それならば問題としては意味がありますが，実際に求めるとなると，ラグランジュの未定乗数法？
（使ってもよろしいのでしょうか）

それでも面倒そうで，まだ出てません．

No.2 回答者： kony0 回答日時： 2003/05/07 00:32

P(p,log(p)), Q(q,log(q)), 1≦p<q≦5とする。

l(p,q)={ (p-q)^2 + (log(p)-log(q))^2 }^(1/2)

S(p,q)= q*log(q) - p*log(p) - (q-p) - (1/2)*(q-p)*(log(p)+log(q))

ということで、2変数(p,q)の制約付き非線形最適化問題
min S(p,q)
s.t.1≦p<q≦5、0<l(p,q)<3
を解けばよい。

・・・といいたいところなんですが、PとQをいくらでも近くとることが可能で、Sはいくらでも0に近づく。
というので終わっちゃうんではない？問題あってます？

この回答へのお礼

お返事どうもありがとうございます。
いちおう問題はあっていると思います。。。
えぇ。でも良問でないことはたしかですね。変な問題を質問してしまってすみません。答えていただいてありがとうございました。参考にさせていただきます。

お礼日時：2003/05/07 23:59

No.1 回答者： mmky 回答日時： 2003/05/06 12:50

参考程度に

これ解けませんね。なにか条件が抜けているとか？
P(x1,ｙ1),Q(x2,y2)として、例えばx2=e の時に面積としては最小になりそうですが、それもx1の変数なのでとらえどころがないですね。

この回答へのお礼

こんにちは。お返事ありがとうございます。
あのぉいちおうもう一度確認したんですが問題あってました・・・。でも何でしょうねこの問題。う～ん。

お礼日時：2003/05/07 00:48