β,λ,θは,それぞれ任意の初等関数かつ有理関数とします.そして,
ζ(λ,θ) :=(βλ+θ)/(β+1)
という式を考えます.ここで,
βは,ある有理関数β=μ/ν (μとνは任意の有限項の多項式)で固定しておきます.
λとθは,それぞれ,βの関数で,λ=λ(β),θ=θ(β)とします.
この時,λとθに任意のβの有理関数(たとえばλ=(β^2+β)/(β^3-β)など)を与えて,
ζ(λ,θ)が一意的に一種類に決まるようにするには,
どのようなλとθの有理関数の集合Sにすればよいでしょうか?
この集合Sを決定したいのですが,どんな手だて,方法があるでしょうか?
上記の説明が分かりにくいかも知れません.つまり,こういう事です.
(βλ+θ)/(β+1)をλとθの2項演算と考えて,
《λ,θ》:=(βλ+θ)/(β+1)
として,すべての β,λ,θ,ζ(λ,θ) ∈S について,
《λ,θ》:S×S ⇒ S
となる集合Sを決めたいのです.つまり,全単射となるように
Sの元 β,λ,θ,ζ(λ,θ),・・・∈S を決めたいのです.
全単射ですから,どのような λとθをとってもζ(λ,θ)が
唯一(ただの一種類)決まるように,Sの元を決めたい,
ということですが,何か方法はあるでしょうか?
ご指導下さい.よろしくおねがいします.
なお,言っている事に,何か間違いか矛盾がありましたら,ご指摘下さい.
No.1
- 回答日時:
まず、なんか、上のほうに文章で書いてあることと、下のほうに論理式で書いてあることの内容が、一致してないような気もしますが。
>λとθに任意のβの有理関数(たとえばλ=(β^2+β)/(β^3-β)など)を与えて,
これに相当する部分が下の論理式での記述には全くない感じです。
(なんか文章の中で使われている用語が全体的に曖昧というか、本来の意味と微妙に違う意味で使われているような気がする。。)
といっても、たとえ問題をはっきり定義できたとしても、答えがすっきりもとまるとはあんまり思えないですが。
とりあえず、下の論理式の部分について言えば、つまり、
∀β∈S、∀λ∈S、∀θ∈S について
ζ(λ,θ) :S×S⇒Sが全単射
となるような
集合S⊂有利多項式
を、探して来いってことですか。
S={1}
という集合は条件を満たすので、存在することは間違いないですが。
この回答への補足
回答をありがとうございます.文章が下手で申し訳ありません.
長くなるので,省略しましたが,ζ(λ,θ)=(βλ+θ)/(β+1)は,例えば,
任意の有理関数 λ1, λ2, θ1, θ2 ∈Sをとり λ1≠λ2 , θ1≠θ2 として,
ζ(λ1,θ1)=(βλ1+θ1)/(β+1)とζ(λ2,θ2)=(βλ2+θ2)/(β+1)
を作り,ζ(λ1,θ1)=ζ(λ2,θ2) から λ2 を求める計算をします.
(βλ1+θ1)/(β+1)=(βλ2+θ2)/(β+1)
から,λ2 を求めれば,
λ2=(βλ1+θ1-θ2)/β
となりますから,ζ(λ1,θ1)=ζ((βλ1+θ1-θ2)/β,θ2)
となってしまいます.つまり,λ1 と θ1 の組と (βλ1+θ1-θ2)/β と θ2 の
組の二つの組が同じ ζ(λ,θ) を与えてしまいますから,2項演算 S×S ⇒ S が
全単射とはならないので,これを避けたいのです.
目的は,ζ(λ,θ)=(βλ+θ)/(β+1) にどのような λ,θ を入れても
ζ(λ,θ) がただ一通りになるような有理関数(多項式の比)の集合Sを得たいのです.
No.2
- 回答日時:
「任意の有理関数 λ1, λ2, θ1, θ2 ∈Sをとり .....」は無理難題のような気がしますけど…。
>λ2=(βλ1+θ1-θ2)/β=λ1+(θ1-θ2)/β
↑
これが成立つ以上、両辺が等しくなるような「制限」が要るのでは?
No.3
- 回答日時:
そもそも単射(一対一)という以前に、
ζ(λ,θ):S×S ⇒ S
が、全射(on-to)になるようなSを探すだけでも相当な難題だと思います。
(むしろ、問題としては、単射よりも全射についてのほうが難しいような気もします。)
この回答への補足
単射は,ζ(λ,θ)=(βλ+θ)/(β+1)に対して,
ζ(λ,θ')=(βλ+θ')/(β+1)およびζ(λ,θ'')=(βλ+θ'')/(β+1)として,
λをλ=λ0をで固定した時,(βλ0+θ')/(β+1)=(βλ0+θ'')/(β+1)から
θ'=θ'' が得られますから,これは確かに単射です.また,
θの方をθ=θ0 で固定して計算しても単射が得られます.
ζ(λ,θ)=(βλ+θ)/(β+1)が全射であることを示してみます.
「命題I」ζ(λ,θ)=(βλ+θ)/(β+1)で定義される関数ζ:S⇒S(有理関数)は全射である.
「証明I」λを或る任意の有理関数 λ0 ∈Sとして固定します.
したがって,ζ(λ0,θ)=(βλ0+θ)/(β+1)です.
次に,任意の有理関数を ξ∈S をとり,ζ(λ0,θ)=ξ であるような θ を計算すると,これは,
ξ=(βλ0+θ)/(β+1)であるような θ∈Sを示すことです.計算すると,
ξ=(βλ0+θ)/(β+1)
(β+1)ξ=βλ0+θ
θ=(β+1)ξ-βλ0
となります.ξとλ0 が有理関数ですから,θが有理関数であることは明らかです.
そして,θ∈S ですから, θ∈S かつ
ζ(λ0,θ)={βλ0+(β+1)ξ-βλ0}/(β+1)=(β+1)ξ/(β+1)=ξ
となりますから,ζ(λ0,θ)=(βλ0+θ)/(β+1)は全射です.
次に,θを或る任意の有理関数 θ0 ∈Sとして固定します.
したがって,ζ(λ,θ0)=(βλ+θ0)/(β+1)です.
ここで,ある任意の有理関数を ψ∈S とします.
ζ(λ,θ0)=ψ であるような λ を計算すると,
ζ(λ,θ0)=(βλ+θ0)/(β+1)=ψ ですからこれを計算すると
(βλ+θ0)/(β+1)=ψ
βλ+θ0=(β+1)ψ
λ={(β+1)ψ-θ0}/β
です.
ψとθ0 が有理関数のとき,λ={(β+1)ψ-θ0}/β の
λが有理関数であることは明らかです.
そして,λ∈S ですから,λ∈S かつ
ζ(λ,θ0)=(βλ+θ0)/(β+1)=[{β{(β+1)ψ-θ0}/β+θ0]/(β+1)
=[(β+1)ψ-θ0+θ0]/(β+1)=[(β+1)ψ]/(β+1)=ψ
を得るので,ζ(λ,θ0)=(βλ+θ0)/(β+1)は全射です.
よって,ζ(λ,θ)=(βλ+θ)/(β+1)は全射であると言えます.(Q.E.D.)
しかし,どうすれば,全単射が得られるか,今は分かりません.
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
正直、補足に書いてある証明がわけわからない。
集合S ⊂ {有利関数全体の集合}
(真部分集合)を求めるのが、そもそもの目的ではないのか。
そうではなくて、単に Sっていうのは、{有利関数全体の集合}の別名のこと?
一体、何がしたいのか。
うーん。
前にも書いたけど、
なんか文章の中で使われている用語が全体的に曖昧というか、本来の意味と微妙に違う意味で使われているような気がする。
数学で使われている用語にはきちんと決まった意味があるので、それ以外の意味で使われると、他人には何が言いたいのかさっぱり分かりません。
>正直、補足に書いてある証明がわけわからない。
どなたかが,この証明にケチをつけて,誤りがあれば正してくれると有り難いと思っていたのですが,
補足に書いた証明が分からなければ,残念ながら,この先の議論が進みませんので,ここまでです.
率爾ながら,あなたの書いた「有利関数」は誤りで,「有理関数」が正しい綴りです.
色々と,ご投稿をありがとうございました.
以上
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