A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
前提条件(順序集合、無限集合など)が書かれていないので見当違いかもしれませんが、
開集合、例えば(1,2)が簡単な例かな
閉集合[1,2]ならば極大元2は集合に含まれますが、開集合(1,2)には2は含まれませんよ。極小元1についても同様。
No.2
- 回答日時:
そもそも「順序」が入ってなければ「極大元」も「極小元」も存在しない.
あるいは, (半順序集合の) 部分集合として極大元 (や極小元) の存在が保証されるのは「(空でない) 有限集合」の場合に限定される. つまり, 無限集合で極大元 (や極小元) が存在するとは限らない. 実際, 自然な順序に関して実数の集合は極大元も極小元も持たないし, あるいは「非負実数の集合」だと極小元は存在するけど極大元は存在しない.
もちろん, 「無限集合だけど極大元も極小元も持つ」ってケースもあるよ.

No.1
- 回答日時:
実数の部分集合としての整数の集合。
極大元をAとすると、A+1は整数の集合の要素だから、A<A+1となり矛盾。
極大元も同様に、A-1は整数の集合の要素だから、A-1<Aとなり矛盾。
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