無限級数の判断のしかた

極限なんですけど・・・。「無限級数ΣＡnが収束するならば、lim（ｎ→無限大）Ａｎ＝０　　数列｛Ａｎ｝が０に収束しなければ、無限級数ΣＡｎは発散する。」これは、(１＋√３)／１＋(√２＋２)／１＋・・・・＋｛√ｎ＋√(ｎ＋２)｝／１＋・・・・　の問題で収束するのか発散するのか調べたい時は、上の「」のやつは使えないんでしょうか？　上の方法でやると答えは「発散」なのに収束になってしまいました。　よろしくお願いします。

No.1 回答者： liar_adan 回答日時： 2003/05/12 15:57

問題となっている数列の意味がちょっとわからないのですが。

もしかして分子と分母が逆でしょうか。

それはそれとして、
定理の理解に誤解があるように思います。
定理では
「ΣAnが収束」する　⇒　「Anが0に収束」する
および
「Anが0に収束」しない　⇒　「ΣAnが収束」しない
を言っています。
しかし、
「ΣAnが収束」しない　⇒　「Anが0に収束」しない
および、
「Anが0に収束」する　⇒　「ΣAnが収束」する
は言ってません。実際に成り立ちません。
反例はいくらでも挙げられます。
たとえば1/1, 1/2, 1/3, 1/4,...,1/n,...は
0に収束するけれど級数は発散します。

No.2 回答者： boilman 回答日時： 2003/05/12 16:01

＞(１＋√３)／１＋(√２＋２)／１＋・・・・＋｛√ｎ＋√(ｎ＋２)｝／１＋・・・・　

これは、どう見ても発散するのですが・・・

たぶん、１／(１＋√３)＋１／(√２＋２)＋・・・・＋１／｛√ｎ＋√(ｎ＋２)｝＋・・・・　の間違いではないでしょうか。（あっていたら申し訳ないですがｗ）

↑ならば、１／｛√ｎ＋√(ｎ＋２)｝のｎが無限大に近づき、１／｛√ｎ＋√(ｎ＋２)｝が０になって、収束します。

どうでしょうか。間違っていたらゴメンナサイ

No.3 回答者： rei00 回答日時： 2003/05/12 17:02

　直接の回答ではありませんが，数列の極限を解説したページがありましたので御紹介しておきます。

　　◎ 数列とその極限

　「極限」については「数列の極限」にあります。その中の「無限級数」の「最も簡単な収束判定法」や「その他」に極限の判定法がでています。

　ご参考まで。

参考URL：http://phaos.hp.infoseek.co.jp/part2/sequence/in …

No.4 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/05/12 19:55

第ｎ項が０に収束することは級数が収束するために

必要条件ではあるが十分条件ではない。

さて問題の級数は（分母と分子が逆としたら）第ｎ項は０
に収束します。（もしそのままなら無限大）

しかしその和は、分母を有理化すると真ん中が消えて
無限大に発散することがわかります。

掲示板における分数の表記は　2/1　は　２÷１です。（１分の２。）

No.5 回答者： boilman 回答日時： 2003/05/12 22:12

No.２です。

間違えました。発散ですねｗ
すみません