数学的表現

Question

中一の子供のテストで文章題があり、ｙをｘの式で表せという問題がありました。子供はx+1=yと回答したのですが、答えはバツで、y=x+1でないとyをxで表すことにならないとのことでした。どちらも数学的には正しいと思うのですが、未知数が左にないと、数学的表現方法として間違いであると先生はおっしゃいます。

どなたか未知数が左にないと間違いである。もしくはどちらでもよいという根拠が示せる方がいらっしゃいましたら、ご回答願います。

kommon · Accepted Answer

厳しいようですが、間違いだと思います。

　"関数という意味を込めて"、y=x+1と書いた時のyは、ある特定の値を指し示すものではないからです。

　関数としてｙ＝ｘ+１と書いた時と、方程式としてｙ＝ｘ+１と書いた時は、意味がまるで違います。


　詳しく説明しましょう。

　x+1=yは、『ある数xに１を足したら、ある数yになった』という文章を数式化したにすぎません（要するに5+1=6のような式ですね）。

　しかし関数という意味を込めて、y=x+1と書いた時は、『従属変数yの値と独立変数x+1の値とを対応させる』という深い意味があります（従属変数、独立変数の用語は、高校のものです）。

　そもそも関数とはなんでしょう？　その本質的な部分が、この問題の核心なのです。
　それをお子さんに聞いてみてください。たぶん、答えられないでしょう。それは当然で、中学校ではそこを意識させないからです...難しいからあえてそこはさらりと通り過ぎてしまうのです。

　砕いて言えば、関数とはこういうことです。

　今、ある数xを入力すると、ある数y（それはxと同じでももちろん良い）を返してくるコンピューターがあるとします。あなたはxを変えて次々と入力して、どうやら返ってくるyと入力したxとの間には

　ｙ＝ｘ+１

　という『関係』があることに気がつきました。つまり、『入力した数に１を加えて返す』というプログラムが組まれていたのです。
　この時のyとxの"関係"を関数と呼ぶのです。まあ、"数"同士の"関係"ですから、納得のいくネーミングです（この時xはあなたが自由に変えられますから、"独立"変数と呼び、yはxの値によって変化しますから"従属"変数と呼びます）。

　重要なのは、関数とは"関係"であるという点です（蛇足ですが、本当の関数の定義は...『数集合Xのどの要素xに対しても、数集合Yの要素yが対応して定まる時、その数集合XとYの関係をｙ＝f(x)と書く』となります）。

　だから"関数"を書けと言われたら、『yにこれこれこういうxを対応させますよ』という式で書かなければならないのです。

　つまりy=x+1では、ｘとｙは"変数"...変化する値として捉えられているのです。
　そうでないなら、y=2x+1とy=x+1の二つのグラフを同じグラフ用紙に書くということは、実にナンセンスです。なぜなら、x+1=yという意味でこの二式を書いているなら、y=2x+1=x+1ということになるのですが、これではなにがなんだかわかりません。

　１：ｙ＝２ｘ+１
　２：ｙ＝ｘ+１

　という二つのグラフにおいては、１は変数ｙに２ｘ+１を代入する、２は変数ｙにｘ+１を対応させる...という意味を持っているのです。ですから、めでたく同じグラフ用紙に上記の二直線を描けます。

　...とここまで説明しましたが、正直にいえば、高校生ですらこういった説明は知らずに関数を使っています。学校で教わったｙ＝...という書き方を何の疑問も持たずに守っているだけなのです。
　それに、上記の説明は中学生には難しすぎるように思えますし、また、理解していなくても問題は解けます。今のところは、関数といえばｙ＝...と書くのだ、というレベルで理解しておけばよいと思います。ただ、ちゃんとした理由はあるのだということは知っていてください。

Tacosan · Answer

「数学的には」というか, 「等式としては」同じです. ただし, (等号の意味にもよりますが) 「x+1=y」と「y=x+1」では「ニュアンス」が違います. 前者は「x+1 が y と等しい」, 後者は「y が x+1 と等しい」というイメージ. 「y を x の式で表す」というのは後者のニュアンスなので, やっぱり「y=...」と書いてほしい.
技術的には「y を x の式で表す」あとにはしばしば「x の値が分かっているときに y の値を計算する」とか「y を含む式があるときに (y を使わないで) x を使った式を導く」とかのステップがきます. このときに「y=...」という形の方が自然です.
なお, これを「完全に間違い」とするか「減点」とするかですが, 教える側が「どのように思っているか」ということにも依存してどちらもありえると思います.

cyototu · Answer

中学生と言うことなので、こればっかりは先生の言うことを受け入れる以外に在りませんね。

何が正しい、何が間違っている、という以前に、世の中には慣習なり、決まりごとが在ります。何故その決まりごとが出来たかにはいろいろな深い経験や、歴史、あるいは知的いきさつががあり、それを、まだ未熟な中学生に説明しても、その深みは理解できないと思います。

習うより慣れろと言いますが、相手の知的レベルがそれなりに成長していない場合には、それをきちっと説明すれば分かるというわけではありません。場合によっては痛い目に会わせて、体で覚えてもらはなくては身にならないこともあります。今回バッテンを貰ったことは、体で覚えるための愛のムチとして、お子様に大変役に立つと思います。また、もしこれでくじけたり、数学が嫌いになったというのなら、それはそれで、それが貴方のお子様の生き様の限界として受け入れる以外にはないでしょう。

ただし、これが数学の規則を十分にこなした経験をもっている人達にとっては、話は全然違います。私は物理学者ですが、物理学者の論文では、文脈で適切だと考えれば、臨機応変に自由自在にこの慣習を無視して、順序を入れ替えて書くこともしばしばあります。

私の知人のお茶の先生が言っておりましたが、お茶の作法の規則は、その人が今まで生きて来た偶然によって纏い付いてしまった、醜い立ち居振る舞いを一先ず白紙に戻すために在るのだそうです。一旦白紙に戻せたら、お茶の規則などどうでも良く、その方が思うままに自然に振る舞えば良いのだそうです。

中学生の貴方のお子さんは、ただいまそのお茶の規則を覚えさせられているのと同じ段階です。一先ず規則々々でがんじがらめな経験をして、人に説明するにはどういう形式が美しく、また効率が良いのかを徹底的に覚え込まされ、論理に対する今までの醜い姿勢を強制させられている段階です。そう言う経験を十分に経た後で、いよいよ、「ところでこれが最善の表現法であるかどうか」を本気で問うようになれれば、お子さんの出すその問いの解答に説得力があるようになるのです。

今は、「理屈を言うな、黙って先輩や先生や親の言うことを聞いていろ」と、お子様に叩き込んでやって下さい。お子さまが並の人間である限り、そうして手に入れた知恵は、将来、たとへお子様がその規則を意識的に破る時が来ても、人を説得出来るものになっていることを保証致します。

私も昔、高校の数学で、数列の各項に現れる値の隣同士の規則が与えられている時に、それでは、その数列の百万番目の項の値や、１億番目の項の値が幾つになるか、という試験の問題で、全てに正しい答えを出したにも拘らず、それが何故正しいのかを証明していなかったために、その正しい答えの全てにバッテンを付けられたことがあり、とても悔しい経験をしたことがあります。要するに、数学の慣習に従っていないこを、その先生に諭されたのです、私はその苦い経験で数学の重要な一面を教わったことも事実です。

質問者様も今までに何度も経験していらっしゃるように、何かが旨く行っているときよりも、自分の意に添わず、予想に反した経験をした時に、いろいろ深いことを学んで来たはずです。悔しい気持ちは分かりますが、お子様にバッテンをくれた先生に感謝こそすれ、おかしいのどうのと異議を申し立てて、お子様の貴重な経験を損なわないないことを希望致します。

sanori · Answer

こんばんは。

ｙをｘで表すとき、左辺にｙを持ってくる意味は色々ありますが、
関数を学ぶ準備という意味合いもあります。

たとえば、二次関数を定義するとき、
ｆ（ｘ）　＝　ａｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ｃ
とか
ｙ　＝　ａｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ｃ
と書きますが、
左辺と右辺を引っくり返して書くことは、普通ありません。
いわば、左が主語で、右が述語だということです。

また、連立方程式を解く途中で、たまたま、「・・・＝ｙ」みたいになるときもありますが、
それは、あくまでも計算の途中経過であって、
最終的には、ｘ＝？、ｙ＝？　と書きます。

あまり依怙地になってもしょうがないです。
行儀、作法の問題であると考えてください。


なお、
不等式の場合は、ｘ＞４　を　４＜ｘ　と書くときもあります。
これは、左側に小さいものを、右側に大きいものを置く、という考え方です。

以上、ご参考になりましたら幸いです。

数学的表現

厳しいようですが、間違いだと思います。

中学生と言うことなので、こればっかりは先生の言うことを受け入れる以外に在りませんね。

こんばんは。

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