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代数学の本に
(定理)
n次正方行列Aが対角化可能であるための必要十分条件は、Aのn個の固有ベクトルX(1)、X(2)、・・・、X(n)で1次独立なものが存在することである。
このとき、P=(X(1)、X(2)、・・・、X(n))とすると、Pは正則で
P^-1AP=|t(1)       |
        |    t(2)   |
        |       t(n)|
ti(i=12・・n)はAの固有値
xi(i=12・・・n)はtiに対する固有ベクトル

とが書いてありますが
 
 どのようなことをいっているのでしょうか?
また、固有値の時の一次独立とはどのようなことをさすのでしょうか?

最後に固有値とは、tを媒介変数として、連立方程式の解を行列によって導き出すと考えていいのでしょうか?


よろしくおねがいします。

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A 回答 (2件)

教科書をしっかり読み直してください。



で済ませてしまったらミもフタもなく
ここの存在そのものが意味がなくなってしまうので
(ちょっと大げさか)

2次の場合について考えて見ましょう。

AX=tX

を満たすtが固有値(スカラー)、Xは列ベクトル
成分で書くと (2×2型と思ってみてください。)
(a,b)(x)   (x)
(c,d)(y)= t(y)

(a、b)(x)  (t、0)(x)
(c、d)(y)= (0、t)(y)

(a-t, b)(x)  (0)
( c ,d-t)(y)=(0)
x,yが0,0でなければ行列には逆行列が無く

(a-t)(d-t)-bc=0
tについての2次方程式だから解は2つあります。
それに対応する列ベクトルXも2つあります。

これが固有値と固有ベクトルです。
固有値が異なれば固有ベクトルは1次独立で・・・

やっぱりここで簡単に説明できるようなことではないです。教科書をしっかり読みましょう。

ベクトルの1次独立は大事な概念です。
索引で調べて読み直してください。

この回答への補足

 ありがとうございました、
 一次独立と一次従属がごっちゃになってました。
いまは、きちんと理解できた。(と思います。このベクトルは1次独立か判定せよ。などの問題が解けるようにななりました。)
 
 そこで固有値の2行2列の形は理解できたのですが、3行3列での固有値をもとめるときの因数分解(くくり出し)が上手くできません、また、「1次独立な3つの固有ベクトルを選ぶ」というあわせ技が理解できません。

 大変恐縮ですが教えていただければ幸いです。

補足日時:2003/05/16 17:23
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この回答へのお礼

ありがとうございました、幾何ベクトルの一次独立,
一次従属は本当に大事ですね、0と0以外として
解決できました。また、固有値ベクトルから行列の対角化
やA^nを求めることができました。

お礼日時:2003/05/25 06:40

> どのようなことをいっているのでしょうか?


>
直感的な意味ですか?
平面で…、
「横を半分に縦を2倍にする線型変換」と言ったら通じますか?
これは、次の行列のことです。
(1/2 0
 0  2)
それでは、uを2倍にvを半分にする線型変換の基底を (u, v) とするときの行列表示は何になりますか?
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この回答へのお礼

ありがとうございました、基底からやり直すことで、問題が解決しました。

お礼日時:2003/05/25 06:30

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