確率の問題を教えて下さい。

確率の問題を教えて下さい。

［問］3人がじゃんけんで1.2.3番を決める。ちょうどｎ回目で3人の順位が確定する確率P(n)を求めよ。　　　ただし、3人ともグー、チョキ、パーを出す確率はすべて1/3とする。

　最初、３人でじゃんけんをするときは、あいこ、一人が勝、一人が負けの確立が各々1/3
　のこりの2人でじゃんけんをする場合、あいこの確率が1/3、勝敗がきまる場合が2/3となると思います。
　ここで詰まっています。よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： f272 回答日時： 2010/01/04 23:21

n回目のじゃんけんをした後での状態は3通りで，それぞれの確率を

a[n]=(3人の順位が全くついていない確率)
b[n]=(1人の順位が確定しているが，残りの2人は順位がついていない確率)
c[n]=(3人の順位が確定している確率)
とする。明らかに
a[0]=1
b[0]=0
c[0]=0
である。また，
a[n]=(1/3)*a[n-1]
b[n]=(2/3)*a[n-1]+(1/3)*b[n-1]
c[n]= (2/3)*b[n-1]+c[n-1]
これを解けば
a[n]=1/3^n
b[n]=2n/3^n
c[n]=1-(2n+1)/3^n

No.3 回答者： nag0720 回答日時： 2010/01/05 02:17

＃１さんの回答の補足を。

c[n]=1-(2n+1)/3^n
はn回目で3人の順位が確定している確率です。
ちょうどn回目で順位が確定する確率は、この確率からn-1回目で順位が確定している確率を引く必要があります。
c[n]-c[n-1]
={1-(2n+1)/3^n}-{1-(2(n-1)+1)/3^(n-1)}
=4(n-1)/n^3

これは、＃２さんの解と一致します。

No.2 回答者： z1rcom 回答日時： 2010/01/04 23:36

反復試行だと分かれば簡単です。

まず、順位が確定するためには、
「３人のうち誰か１人が勝つか負ける」→「残り２人でジャンケンし、勝敗が決まる」
この２つが必要です。

ｎ回目で勝敗が決まるのですから、ｎ回目は絶対に残りの「２人のジャンケン」で、「勝敗が決まる」必要があるので確率は３分の２です。

ｎ回目までのどこかに、「３人のうち誰か１人が勝つか負ける」じゃんけんがあります。そして確率は
１人が勝つ＋１人が負ける＝３分の２です。

上記２パターン以外はすべてあいこですね。
３人でも２人でもあいこの確率は３分の１です。

つまり順番が決まるまでの流れはこのようになります。
３人でジャンケンして、あいこになる（？回）
３人でジャンケンして、１人が勝つか負ける（１回）
２人でジャンケンして、あいこになる（？回）
２人でジャンケンして、勝敗が決まる（１回、ｎ回目）
ただし？回のところは０回の場合もあります。

そして最後はｎ回目だとわかっているので、上の３つを反復試行で考えます。
上の３つは合計でn-1回です。そのうち1回だけ選んで、「３人でジャンケンして、１人が勝つか負ける」回を決めるので、「(n-1)C1」ですね。
n-1回のうち1回は「３人でジャンケンして、１人が勝つか負ける」回で、n-2回はあいこです。

つまり反復試行で、
(n-1)C1×(1/3)^(n-2)×(2/3)
となりますね。「^」は～乗の意味です。2^nで2のn乗です。
そしてn回目の「２人でジャンケンして、勝敗が決まる」確率2/3をかければ良いわけです。

(n-1)C1×(1/3)^(n-2)×(2/3)^2
=(n-1)・(1/3)^n・(1/3)^(-2)・(4/9)
=(n-1)・(1/3^n)・9・(4/9)
=4(n-1)/3^n（答）