常用対数を使うと何が便利なんですか？

常用対数の実用性についてわかりやすく教えてください。
特にデシベルとの関連について・・・掛け算が足し算になるとか本には書いてあるんですが具体的な例を示していただければありがたいです。

No.3 ベストアンサー 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2010/02/03 01:51

もちろん計算が楽になるという利点がありますが、そもそも対数は比較するためのものです。

　たとえば、私たちがある二つの学校の人数が、ともに１０人増えたと言った場合、この二つが同じ意味かというと、そうとは言い切れませんね。
　Ａ校は、昨年１０人しかいませんでしたが、Ｂ校は１０００人の生徒がいました。
　Ａ校は、２倍に増えたのですが、Ｂ校は0.1％しか増えていません。

　今年は、お小遣いが１００００円増えたといっても、大して喜ばないＡ君と、逆立ちして喜ぶＢ君がいる。なぜならＡ君は先月まで１００００円だった、Ｂ君は１００万円貰っていた。

　では、それぞれの生徒数やお小遣いを対数で表してみると
Ａ校は、1→1.3010　　差は0.3010
Ｂ校は、３→3.004　　差は0.004
Ａ君は、４→4.3010　 差は0.3010
Ｂ君は、６→6.004　　差は0.004
　差を比較するより、何倍になったかを比較するほうが適切なことが分かると思います。Ａ校の思いと、Ａ君の思いは同じことがこれで分かるね

＞掛け算が足し算になるとか本には書いてあるんですが
　は数学的な意味ですね。
　たとえば10倍したものを1000倍すると、10000倍ですが、対数で考えると1+3=4ですから、10^{4}で10000
　10^{1} * 10^{3} = 10^{1+3} = 10^{4}
　10の倍数だけでなく、すべての数が10^{x}という形で表せる。このあたりは
冪乗 - Wikipedia ( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E4%B9%97 )
対数 - Wikipedia ( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0 )
などで勉強してね。

＞特にデシベルとの関連について
　実は、人間の感覚も対数なのです。
　人は、音の大きさは、エネルギーの大きさが１０倍になっても２倍になった要に感じる。でないと、１万倍の音を聞いたら頭が壊れてしまう。一万倍になっても４倍の大きさにしか感じない。
　明るさだって、光子一個でも感じることができるのに、それが数億個になっても、目が焼ききれない。


　

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2010/02/03 21:38

No.5 回答者： Ishiwara 回答日時： 2010/02/03 13:26

掛け算が足し算になるのは、常用対数に限らず、すべての対数で言えることです。

常用対数が便利なのは、
１０の対数が１
１００の対数が２
１０００の対数が３
１００００の対数が４
というように「０」の数がそのまま対数になっていることでしょうね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2010/02/03 21:39

No.4 回答者： rinkun 回答日時： 2010/02/03 09:36

掛け算が足し算になるのは常用対数に限らず対数の性質です。

常用対数が実用的なのは10進数の桁数に対応するから。人が10進数を使うから特別になるのです。
常用対数は主に工学分野で使われています。昔は計算尺を使うのが当たり前でした。最近はどう使われているか詳細は知りませんけど。
自然対数は数学で使われ、これは微積分で余計な係数が出ないのが利点です。
情報分野では計算量や情報量を扱うのに2を底とするバイナリ対数を使います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2010/02/03 21:38

No.2 回答者： ymmasayan 回答日時： 2010/02/02 23:55

いきなりデシベルで説明してしまいますが。

電圧増幅率１，０００倍のアンプの後に１０分の１倍の減衰器を入れて
さらに１００倍に増幅したとします。
このとき、普通の計算では１，０００×１／１０×１００＝１０，０００ですが、
これをデシベルでやると
６０ｄＢ－２０ｄＢ＋４０ｄＢ＝８０ｄＢ(＝１０，０００倍)です。
色んな機器や伝送線路(あるいは電波の空中伝搬)等の複雑な組み合わせを考えたときに
掛け算よりも足し算で答えが求まる方がはるかに便利です。

余談ですが電卓やパソコンがない時代には掛け算は大変な作業で(そろばんの達人は別ですが)
一般には計算尺(対数の応用)や対数表を使って計算していました。
どちらも対数を使って掛け算を足し算に変換していたわけです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2010/02/03 21:37

No.1 回答者： onigiri_3 回答日時： 2010/02/02 23:37

天文学的な数字を扱うのに、便利だから。

参考になりそうな、過去ログがあったのでURL参考

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/qa569141.html

この回答への補足

ところでなぜ常用対数が特別なんでしょう？
参考URLにも少し出ていましたが理解はイマイチです。

補足日時：2010/02/02 23:47

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
過去ログ参考になりました。

お礼日時：2010/02/02 23:47