さいころの積が６の倍数

大、中、小のさいころがある。
この３個を１回ふったときの目の積が６の倍数になる場合は
何通りあるか。

次のように考えましたが、きっともっとよい数え方があるのでは
ないかと思います。教えてもらえればと思います。
ア、６が含まれる場合。
　(1)６が１個
　(2)６が２個
　(3)６が３個

イ、６が含まれない場合。
　(1)３と（２か４）とその他
　(2)３と３と（２か４）

このような場合分けを考えましたが、アはいいとしても
イは面倒なところがあります。

わかりやすい、すっきりした数え方を教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： i_noji 回答日時： 2010/02/06 00:59

とりあえず、大、中２つのサイコロの場合を考えると

大中の積が
2の倍数　27個
3の倍数　20個
6の倍数　15個
です。（わたしなら６×６の表を書いて数えます）

んで、残りの小が
１，５　大中の積が6の倍数のときOKで　15×2個
２，４　　　　　　　　　3の倍数　　　　　　20×2個
３　　　　　　　　　　　2の倍数　　　　　　27個
６　　　大中の積、36とおりすべてOKで　36個　　　　

よって
15×2＋20×2＋27＋36＝133

でどうでしょうか。

この回答へのお礼

残りのさいころの場合わけをするというのは、おもしろいと思いました。ありがとうございました。

お礼日時：2010/02/08 08:45

No.9 回答者： Ishiwara 回答日時： 2010/02/11 14:16

＃８です。

すみません。計算の単純ミスがありました。
誤：３６－２５＝９
正：３６－２５＝１１
誤：合計１２１とおり
正：合計１２５とおり
です。
この１２５というのは、６が１回も出ない場合の数と同じですが、これが偶然なのか、それとも超ウラワザ解が存在するのか、ちょっと魅力的ですね。

No.8 回答者： Ishiwara 回答日時： 2010/02/11 12:56

面の数字はすべて素因数に分解されているものとします。

●大が６の場合：中・小は何でもよいので３６とおり
●大が５の場合：３６－（中・小が共に６でない場合）＝３６－２５＝９とおり
●大が４の場合：３６－（中・小が共に３を含まない場合）＝３６－１６＝２０とおり
●大が３の場合：３６－（中・小が共に２を含まない場合）＝３６－９＝２７とおり
●大が２の場合：４の場合と同じ、２０とおり
●大が１の場合：５の場合と同じ、９とおり

３６＋９＋２０＋２７＋２０＋９＝１２１とおり

No.7 回答者： momordica 回答日時： 2010/02/06 02:19

たびたびすみません。

確率の問題じゃなくて、数え上げの問題なんですね。
根源事象の総数が6^3=216で、それらはすべて同様に確からしく、かつ互いに区別できますから、
邪道ではありますが、それに確率133/216をかけてもらえば、場合の数は一応求められるかと思います。

　216*(133・216)=133

No.6 回答者： momordica 回答日時： 2010/02/06 02:07

#5です。

書き間違いです。すみません。(3行目)
×　1-(1^2)^3=7/8
　　　　↓
○　1-(1/2)^3=7/8

No.5 回答者： momordica 回答日時： 2010/02/06 01:57

サイコロを3回振って目の積が2の倍数になる確率は、

偶数の目が少なくとも1回出ればよいので、
　1-(1^2)^3=7/8

目の積が3の倍数になる確率は、同様に、
　1-(2/3)^3=19/27

したがって、目の積が6の倍数になる確率は、
　(7/8)*(19/27)=133/216


サイコロにおいて、目の数が2の倍数になる確率と3の倍数になる確率は
実は独立なので、こういうこともできます。

この回答への補足

目の数が2の倍数になる確率と3の倍数になる確率は実は独立。について
この問題の場合にそって、独立の使い方を教えてもらえないでしょうか。

補足日時：2010/02/08 08:35

No.3 回答者： nag0720 回答日時： 2010/02/05 18:54

全体の数は、６×６×６＝２１６

そのうち、６が含まれない場合の数は、５×５×５＝１２５
よって、６が含まれる場合の数は、２１６－１２５＝９１

６が含まれない場合のうち、
(1)３が１つ含まれる場合の数は、１×４×４×３＝４８
　　そのうち、２も４も含まれない場合の数は、１×２×２×３＝１２
　　よって、２か４が含まれる場合の数は、４８－１２＝３６
(2)３が２つ、２か４が１つ含まれる場合の数は、１×１×２×３＝６

以上から、
９１＋３６＋６＝１３３


６が含まれない場合の(1)は、つぎのような計算でもいいです。
２が含まれる場合の数＋４が含まれる場合の数－２と４が含まれる場合の数
＝（２×４＋２×４－２×２）×３＝３６

この回答へのお礼

だぶりがないように注意をはらわなければならないのが、いずれにしても場合の数の問題は大変。きれいな数え方をいろいろ考えてみたいとおもいます。ありがとうございました。

お礼日時：2010/02/08 08:49

No.2 回答者： ojisan-man 回答日時： 2010/02/05 17:37

No.１です。

すみません、少し早とちりしたようです。
「６と○と○」「３と４と○」もありましたね。

この回答へのお礼

過不足なく数える数え方は、簡単なようでむずかしい。
きっとわかりやすい数え方はあるのだろう？。
ありがとうございました。

お礼日時：2010/02/08 08:58

No.1 回答者： ojisan-man 回答日時： 2010/02/05 17:11

Ａ、Ｂ、Ｃの３個のサイコロを振って積が６の倍数になるには、

「１と６と○」か「２と３と○」の組合せになります。○はどの数字でも積は６の倍数になります。
だから後は、この組合せが何通りあるか考えれば答えが出ると思います。