画角と焦点距離の関係についての質問です．

画角と焦点距離の関係についての質問です．

一眼レフデジタルカメラで撮影した写真から画角を計算して，レンズの主点からの距離と撮影範囲の関係を調べようとしています．

そして，イメージサークルの半径をｙ，焦点距離をｆ，画角をθとすると

ｙ＝ｆ×tanθ

という関係式を見つけました．

無限遠にピントを合わせた場合は，焦点がCCDの位置に来るので上の式で納得できるのですが，
添付させていただいた図の点光源の位置（焦点より離れているが無限遠ではない）にピントを合わせた場合，上の関係式は，焦点距離ｆではなくてCCDまでの距離を使うべきだと思うのです．

なぜ，ｙ＝ｆ×tanθ　で画角が求められるのか教えてください．
よろしくお願いします．

No.8 ベストアンサー 回答者： kuma-gorou 回答日時： 2010/02/17 19:23

＞前方主点と後方主点の位置関係を求める方法が想像できません．

後方主点と前方主点の位置を求めるにはどうすれば良いでしょうか？

前方主点（第一主点或いは前側主点と表記する場合もある）は、レンズ設計者しか分かりません。ただ、ある程度光学的な知識があれば、レンズ構成図で凡その位置は推測可能です。

後方主点（第二主点或いは後側主点と表記する場合もある）は、結像面からレンズ表記の焦点距離分前方と考えて宜しいかと思います。（実際には、全群繰り出し式、インナーフォーカス、リヤフォーカスによって微妙に異なります）

いわゆる、テレタイプと呼ばれる望遠系レンズは、レンズ構成より前に後方主点があるので、前方主点との位置関係が入れ替わります。
レトロフォーカスタイプと呼ばれる広角レンズは、レンズ構成より後に後方主点があります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました．

＞＞いわゆる、テレタイプと呼ばれる望遠系レンズは、レンズ構成より前に後方主点があるので、前方主点との位置関係が入れ替わります。
教えていただくとなるほどですが，後方主点がレンズ構成よりも前にあるなんて想像もできませんでした．とても興味深いです．

今回質問させていただいた内容についてはすべて納得です．
おかげさまでだいぶイメージがつかめてきた気がします．
理解できない点が出てきた際には改めて質問させていただこうと思いますので，
またご指導よろしくお願い致します．

お礼日時：2010/02/18 09:29

No.11 回答者： vsl2000 回答日時： 2010/02/20 09:48

　言えるにもなにも、主点なんか関係のない、単なる相似三角形の辺の長さの比例計算じゃないんですか？

この回答へのお礼

そういえばそうですね．
ご回答ありがとうございました．

お礼日時：2010/02/20 11:42

No.10 回答者： vsl2000 回答日時： 2010/02/19 09:10

　質問者さんの言う撮影領域とはどのようなことですか？

　初めの質問にある撮影範囲という言葉と同じですか？

この回答への補足

回答ありがとうございます．
撮影領域は，撮影範囲という意味で使用しました．
誤解を招く表現をしてしまい，申し訳ありません．
これ以降，撮影範囲に統一します．
撮影範囲については，以下に示すサイトの「カメラで撮影できる範囲」で説明されている図を参照していただければと思います．
http://www.topcon-techno.co.jp/products/110400.h …

また，今回の補足質問を以下のように改めさせてください．
＞＞実際のレンズで主点を求めるには、光軸に余り大きくない傾きで物体側主点に入る光線は、像側主点から等しい傾きで出る
ということから，
前方主点から撮影範囲までの距離＝（焦点距離/CCDサイズ）＊写真から求めた撮影範囲
が言えると思うのですが，いかがでしょうか？

よろしくお願いします．

補足日時：2010/02/20 07:03

No.9 回答者： vsl2000 回答日時： 2010/02/18 08:23

＞後方主点と前方主点の位置を求めるにはどうすれば良いでしょうか？

　東条四郎著「レンズ」という本にはこう書かれています。
　（原文は旧漢字で書かれています）

　実際のレンズで主点を求めるには、光軸に余り大きくない傾きで物体側主点に入る光線は、像側主点から等しい傾きで出る、即ち像側主点を中心としてレンズを垂直軸で僅かに旋回しても、中心に近いところの像が動かないといふ性質を利用するのが普通である。本当はこの点は節点といふのであるが、通常レンズの両側が屈折率の等しい空気であるとすれば、節点と主点とは合致する。

　なおこの本は昭和17年の発行ですので、今でもそのとおりかどうかはわかりません。

この回答への補足

＞＞実際のレンズで主点を求めるには、光軸に余り大きくない傾きで物体側主点に入る光線は、像側主点から等しい傾きで出る

確かに言われてみるとなるほどですね．
ということは，焦点距離とCCDサイズから計算した撮影領域と実際に撮影して調べた撮影領域（かなりアバウトな書き方ですみません）のギャップが後方主点と前方主点の距離になるのではないかと思ったのですがどうでしょうか？

補足日時：2010/02/18 10:36

この回答へのお礼

とても興味深いご回答ありがとうございました．
勉強になります．

お礼日時：2010/02/18 10:42

No.7 回答者： kuma-gorou 回答日時： 2010/02/17 10:40

No5　再質問の件

レンズの中心点（主点）をａ
センサーの中心点をｂ
センサーの端をｃ　　
とします。そうすると、ａｂｃの直角三角形の図形ができます。

画角は、線ａｂと線ａｃを囲む角度の２倍です。
線ａｂと線ａｃを囲む角度は、
tanθ＝(ｙ/2)/ｆ　
で求める事ができます。
※ｆ＝線ａｂの長さ（主点から結像面までの距離）。ｙ＝センサーの大きさ。
この時、(ｙ/2)　即ち、センサー中心から端の距離を長辺でとれば水平画角。短辺でとれば垂直画角。角でとれば対角画角となります。

なお、レンズ焦点の後方に結像面がある事。公称焦点距離と実測値には、±５％以内の誤差は公式に容認範囲である事。レンズには、前方主点と後方主点があり、超望遠レンズや超広角レンズでは、必ずしも後方主点はレンズエレメント内にあるとは限らない事なども考慮しないと、正確を期する事はできません。

疑問があれば、追加質問に回答します。

この回答への補足

補足いただいたおかげで，すっきりと理解できました．
ありがとうございました．

ご好意に甘えて，追加質問させていただきます．

＞＞レンズ焦点の後方に結像面がある事。公称焦点距離と実測値には、
＞＞±５％以内の誤差は公式に容認範囲である事。
＞＞レンズには、前方主点と後方主点があり、超望遠レンズや超広角レンズでは、
＞＞必ずしも後方主点はレンズエレメント内にあるとは限らない事なども考慮しないと、
＞＞正確を期する事はできません。

確かにkuma-gorouさんのおっしゃることを考慮する必要があるのは理解できましたが，前方主点と後方主点の位置関係を求める方法が想像できません．
後方主点と前方主点の位置を求めるにはどうすれば良いでしょうか？

補足日時：2010/02/17 14:29

No.6 回答者： ameru2007 回答日時： 2010/02/16 21:38

この質問は、知的欲求を満たす為の質問？

たしかにクマゴローさんが言う通りだとおもう
（全てにおいて）

この回答へのお礼

＞＞この質問は、知的欲求を満たす為の質問？
そうです．知りたいことをご存じの方に教えてもらうのはおかしいことでしょうか？

ご意見ありがとうございました．

お礼日時：2010/02/16 23:31

No.5 回答者： kuma-gorou 回答日時： 2010/02/16 19:35

＞画角θは、tanθ/2＝(y/2)/f

＞画角θからｆを求めるには、ｆ＝(y/2)×(tanθ/2) となります。

この部分、誤解を招くので以下のとおり訂正します。
画角を求めるには、tanθ＝(ｙ/2)/ｆで得られた角度を２倍する。
画角からｆを求めるには、ｆ＝(ｙ/2)×画角の半分に対するtangentの値となります。

要するに、ｙ＝ｆ×tanθがおかしいと指摘したのは、
tangentの角度に対角する線は、角度をなす二本の線の何れかの線と直角でなければ、式として成立しないからです。
　

この回答へのお礼

補足までしていただき，ありがとうございました．
大変参考になります．

一つ疑問なのですが，
＞＞画角を求めるには、tanθ＝(ｙ/2)/ｆで得られた角度を２倍する。
＞＞画角からｆを求めるには、ｆ＝(ｙ/2)×画角の半分に対するtangentの値となります。
tanθ=(y/2)/f　は，f = (y/2)/tanθ　になるのではないかと思うのですがいかがでしょうか？
補足いただけると幸いです．

お礼日時：2010/02/16 23:39

No.4 回答者： kuma-gorou 回答日時： 2010/02/16 17:26

＞イメージサークルの半径をｙ，焦点距離をｆ，画角をθとすると

＞ｙ＝ｆ×tanθ
＞という関係式を見つけました．

その式、何か変ですね。
出典を明示しないで、数式だけを抜粋されても説明のしようが有りません。

そもそも、イメージサークルとイメージセンサーサイズは別モノ。
イメージセンサーの対角線長＝ｙ
レンズ主点からイメージセンサーまでの距離＝ｆ　なら
画角θは、tanθ/2＝(y/2)/f
画角θからｆを求めるには、ｆ＝(y/2)×(tanθ/2) となります。

ただ、撮影した写真から画角を計算するには、収差のない理想のレンズを用い光軸と垂直にスケール配し、レンズ前方主点からの撮影距離を計測しなければなりません。
現実、そんな事は不可能ですよね。よしんば、そこまでして得るものは何ですか？

まぁ、光学物理の理論的な話だけなら、貴方が納得するまでお付き合いしますが、良い写真を撮る事とは無関係だとは思いませんか？

この回答へのお礼

＞＞出典を明示しないで、数式だけを抜粋されても説明のしようが有りません。
ご指摘ありがとうございます．今後，質問させていただく場合は出典をきちんと書きます．

＞＞そもそも、イメージサークルとイメージセンサーサイズは別モノ。
誤解を招くような質問の書き方をしてしまいました．

＞＞まぁ、光学物理の理論的な話だけなら、貴方が納得するまでお付き合いしますが、
＞＞良い写真を撮る事とは無関係だとは思いませんか？
科学計測を目的としているため，カメラやレンズについて理解することは重要なことだと考えています．そして，今の私にとって良い写真とは，カメラや被写体などの条件をそろえれば何度でも再現できる写真が良い写真だと思っています．

＞＞現実、そんな事は不可能ですよね。
kuma-gorouさんのおっしゃるとおりで，どこまで正確に求めるべきかは今後どの程度の計測精度が必要になるか検討して決めたいと思います．

詳しいご回答とご意見ありがとうございました．

お礼日時：2010/02/16 22:18

No.3 回答者： vsl2000 回答日時： 2010/02/16 15:26

＞無限遠にピントを合わせた場合は，焦点がCCDの位置に来るので上の式で納得できるのですが

　それでいいのです。つまり、無限遠にピントを合わせた場合の画角をそのレンズの画角としているのです。
　被写体距離が変わるたびに変わる画角をいちいち示していたんじゃたいへんでしょ。
　　

この回答へのお礼

＞＞被写体距離が変わるたびに変わる画角をいちいち示していたんじゃたいへんでしょ。
確かにおっしゃるとおりですね．
ご回答ありがとうございました．

お礼日時：2010/02/16 21:31

No.2 回答者： foobar 回答日時： 2010/02/16 15:10

y=f*tanθの式が使えるのは、無限遠（あるいは十分遠方）の被写体（像面と焦点の間隔が焦点距離よりも十分短い）の時だけです。

撮影距離が短いときには、画角は狭くなります。（たとえば、全群繰り出しのマクロレンズを使うと、近距離で画角が狭くなるのを実感できます。）

この回答へのお礼

＞＞たとえば、全群繰り出しのマクロレンズを使うと、近距離で画角が狭くなるのを実感できます。
マクロレンズを使って試してみたいと思います．
ご回答ありがとうございました．

お礼日時：2010/02/16 21:28