否定命題

Question

M,Nを空でない実数の部分集合とする。
命題「Mに属するどんな数xをとっても、x≧yとなるyがNに存在する」
の否定命題を述べよ。
答え　「Nに属するすべてのyに対してx<yを満たすxがMに存在する」

自分の回答は
「Mに属さないあるxをとっても、￢(x≧yとなるyがNに存在する)」

￢(x≧yとなるyがNに存在する)は、
(Nに属さない全てのyはx<yを満たす)に等しい。

よって答えは、
「Mに属さないあるxをとっても、Nに属さない全てのyはx<yを満たす」
となりました。

どこが間違っているのか、どなたか教えてください。

osu_neko09 · Accepted Answer

No1です。
＞「Mに属する」の部分は「Mに属さない」と否定されることはないのでしょうか？
なるほど　ひっかかっているのは、そこですか。
命題の指し示している範囲（その命題が何について述べているか）まで否定しちゃ駄目です。

＞命題Aと命題Bの間に真偽の関係性がないから命題Bは命題Aの否定命題でないことは、あきらかということですか？
はい、そうです。
とある命題と、その命題を否定した命題とでは、必ず「一方が正しく、他方が誤り」という関係が成り立ちます。
とある命題の否定命題を作成する第一歩としては、命題全体を括弧でくくって、「～」ではない、とする（言及している範囲はそのままで、結論だけ否定する）と一番簡単だと思います。が、とある命題の否定がわからなければ、その命題が「間違っている」というのには、どういう証拠があればいいか、と考えたらよいかもしれませんね。

命題「とある集団全体について、何々であった」を否定するなら、「『とある集団全体について、何々であった』、ではない」として、「とある集団の少なくとも一つについて、何々ではなかった」となるのです。

＞もしそうだとしたら、命題Aと命題Bの関係性をすぐに判断する方法はありますか？
「命題Bが成立したら（正しいならば）、『命題A』が間違っている、という証拠になりますか？」と考えれば、関連性は判りますが、かえってややこしくならないかな？

簡単な命題で、否定命題を考えましょうか。
命題「Ａ君の身長は160cmを超えている」の否定は命題「Ａ君の身長は160cmを超えている」ではない、つまり「Ａ君の身長は160cmを超えていない」つまり「Ａ君の身長は160cm以下である」、なのです。
「Ａ君の身長が160cm以下である」という証拠を突きつければ、命題「Ａ君の身長は160cmを超えている」は間違い、と断言できますが、Ｂ君やＣ君の身長が何cmであれ、命題「Ａ君の身長は160cmを超えている」が正しいかどうかには関係ないですよね？

命題「２年桜組の国語のテストの成績は、全員５０点以上であった」が間違いなら、「２年桜組の国語のテストの成績は、少なくとも一人が５０未満であった」ということですよね？

noname#108210 · Answer

「Mに属するどんな数xをとっても、x≧yとなるyがNに存在する」
∀x∈M,∃y∈N　[x≧y]
の否定ですから，

∃x∈M,∀y∈N　[x＜y]
となります。


>どこが間違っているのか、どなたか教えてください。
たぶん，「∈」のところまで否定していませんか？

osu_neko09 · Answer

命題Ｂ「Mに属さないある数xをとっても、x≧yとなるyがNに存在する」が正しかろうが間違っていようが、命題Ａ「Mに属するどんな数xをとっても、x≧yとなるyがNに存在する」の真偽には関係ないのです。

命題Ａの全体を否定してくださいな^^;
命題Ａの否定は、「Mに属するどんな数xをとっても、x≧yとなるyがNに存在する」ではない、なので、
「Mに属するとある数xに対して、x≧yとなるyがNに存在しない」
つまり、「Mに属するとある数xについては、Nに属するすべてのyに対してx<yを満たす」となるので、言い換えて
「Nに属するすべてのyに対してx<yを満たすxがMに存在する」
となります。

否定命題

No1です。

「Mに属するどんな数xをとっても、x≧yとなるyがNに存在する」

この回答への補足

命題Ｂ「Mに属さないある数xをとっても、x≧yとなるyがNに存在する」が正しかろうが間違っていようが、命題Ａ「Mに属するどんな数xをとっても、x≧yとなるyがNに存在する」の真偽には関係ないのです。

この回答への補足

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