命題∀x:P(x)→Q(x)、∃x:P(x)∧Q(x)の意味について

定義
1.命題∀x:P(x)→Q(x)を∀x(P (x)) : Q(x)と書き、
　「P (x) が成り立つような任意の x に対して,Q(x)」などと読む。
2.命題∃x:P(x)∧Q(x)を∃x(P (x)) : Q(x)と書き、
　「P (x) が成り立つようなある x が存在して,Q(x)」などと読む。
こんな感じの定義があったのですがその意味がわかりません。
例えば1で、僕なりに解釈すると
全てのx(通常、xに整数なり、複素数なり範囲はあると思いますが思いますが)に対して、P(x)→Q(x)が真である。(これはつまり全てのxに対して、P(x)、Q(x)は、P(x)が真Q(x)も真、P(x)が偽Q(x)が真、P(x)が偽Q(x)も偽のどれかの組であるということと思います)
しかし、〜と読むと書かれている「」の中の文章を考えると、
xは範囲以外にP(x)が成り立つxに限定されて、しかもP(x)、Q(x)はともに成り立つ、つまりP(x)、Q(x)はともに真とされているように思えます。
2も同じような感じです。
定義1,2(命題∀x:P(x)→Q(x)、∃x:P(x)∧Q(x))の意味を教えてほしいです。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/03/22 21:13

1.

∀x:P(x)→Q(x)
は
∀x:￢P(x) ∨ Q(x)
と
同じだから

全てのxに対して
P(x)が偽 又は Q(x)が真
と
いう意味になります

2.
∃x:P(x)∧Q(x)
は

P(x)が真　かつ　Q(x)が真
となるような
xが存在する
と
いう意味です

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2022/03/22 12:22

「定義」とお書きなのは、定義というほどのもんでもない、略記法のひとつの流儀についての説明です。

もちろん、略記法なんか使わないで、いつでも正書法で
　　∀xA
　　∃xB
と書けば間違いない。ですが、他人が略記法で書いた式を読めないと困る。なので、略記法についても知っていなくてはいけない。

　一方、略記法しか知らない人が結構多くて、自分が書いているのが略記法であるということすら知らない。（そういう人は当然ながら述語論理が苦手。）ですから、「どうせ略記するんなら、それが略記法に過ぎないということを教え、略記された式の意味をきちんと説明すべきだ」というのは、結構な教育方針だと思います。
　ですが、ご質問にある「定義」には賛成いたしかねるところがあります。


[1] ∀x:P(x)→Q(x)
　これ自体、すでに正書法をはずれた、癖のある書き方です。上記の”A"が"(P(x)→Q(x))"になってるだけですから、
　　∀x(P(x)→Q(x))
と書けば間違いがありません。ここで、括弧の代わりに":"を使っただけ、という略記法だということなら、ま、よろしいかと思います。（が、後述するように、この書き方には「":"を『について』と読め」というキモチが込められているようで、そうなると話が違ってきます。）

　それはさておき、
　　U → V
は
　　￢U ∨ V
や
　　¬(U ∧ ¬V)
や
　　¬V → ¬U
と同じですから、
　　∀x(P(x)→Q(x))
は
　　∀x(￢Q(x) → ￢P(x))
とも
　　∀x(¬P(x) ∨ Q(x))
とも、
　　∀x(¬(P(x) ∧ ¬Q(x)))
とも
　　∀x￢(P(x) ∧ ￢Q(x))
とも同じ。これらの同等性を考えるに当たって、"∀x"のことはすっかり忘れていて構いませんね。さらに
　　∀xA
と
　　￢∃x(¬A)
は同じコトなので
　　￢∃x(P(x) ∧ ￢Q(x))
とも同じであることが分かる。
　このように、イチイチ意味を考えなくたって機械的な操作だけで論理式相互の関係が間違いなく分かるのが、正書法の良いところです。

[2]　∀x∈R: Q(x)
という略記法はしばしば見られますが、ご質問に書いてある「定義」には該当しません。(":"ではなしに";"や","を使う人もいます。）
　なんでこんな略記をしたがるかというと、「x∈Rであるようなxだけに興味がある」というココロを表したいから。x∉Rの場合にはQ(x)が真でも偽でも(x∈R → Q(x))は真ですから、x∉Rとなるxについては考える必要がない。なので、「x∈Rであるようなxだけに興味がある」というココロになるわけです。

　さてこのように略記した命題の本来の姿は
　　∀x(x∈R → Q(x))
なので
　　∀x(x∉R ∨ Q(x))
や
　　¬∃x(x∈R ∧ ¬Q(x))
と同じである。しかし略記するとこれらの同等性が分かりにくくなってしまう。「略記法しか知らない人は述語論理が苦手」ということの由来がここにあります。だから略記法なんか使わない方がいいんです。

[3] 　∀x∈Z; (x＞0 → S(x))
という風な略記もよく見かけます。「整数であるようなxについてだけ興味がある。そのような全てのxについて、x＞0 ならばS(x)である」と読んで欲しい、というココロです。もちろんこれは
　　∀x((x∈Z ∧ x＞0) → S(x))
ということなんですから、"x＞0"と"x∈Z"のどっちを先に書いても同じであり、だから
　　∀x＞0: (x∈Z → S(x))
と略記したって良くて、こう書くと「x＞0であるようなxについてだけ興味がある。そのような全てのxについて、xが整数ならばS(x)である」と読んで欲しいということになる。やはり同等性が見えにくくなっています。

[4] 0＜∀x＜1 : Q(x)
という（なかなか乱暴な）略記もよく見かけます。
　　∀x((0＜x ∧ x＜1)→Q(x))
ということ。これは
　　0＜x ∧ x＜1
を
　　0＜x＜1
と略記したからこう略記できるんであって、もし論理式が
　　∀x((0＞x ∨ x＞1)→Q(x))
だったら略記しようがない。「略記法しか知らない人」にとっては悩ましいですね。彼らがどうするかというと、あらかじめ
　　Π={x | 0＞x ∨ x＞1}
という集合を定義しておいて
　　∀x∈Π : Q(x)
とやることになるでしょう。でも、「わざわざΠという新しい文字を導入したくない」ということなら、
　　∀x∈{x | 0＞x ∨ x＞1} : Q(x)
とする。（正書法より長くなってませんかね？）

[5] ∀x(P (x)) : Q(x)
　いや、こんなの見たことないなあ。もはや我流と言っても良いんじゃないでしょうか。
　この「定義」を考えた人は「∀や∃を使う場合には必ず":"を入れる。この":"は『について』と読むんだ」という（ちょっと変わった）流儀を採用しているんではないでしょうか。そして、この流儀によれば「(P (x))であるような∀のx『について』Q(x)」と読める、とお考えであるに違いない。
　ですが、
　　∀x(P(x)) : Q(x)
という書き方は一般には通用しないでしょう。というのは、前半の
　　∀x(P(x))
までで、すでに命題（「任意のxについてP(x)である」）として完結している。なので「∀x(P(x))はわかるが、さて、その後にくっついてる" : Q(x)"って、いったい何ですか？」と言われかねない。（[1]で見たような「":"は括弧の代わり」という解釈は成立しません。
　　∀x(P(x))(Q(x))
はやっぱり意味不明ですからね。）

[6] というわけで、さまざまな流儀や慣習が派生していますが、どれも所詮は略記法であり、いわば方言に過ぎません。その多様性を考えれば、式を見たときに必ずしもどの流儀なのか見分けられるとは限らず、またそれぞれに明確な定義が与えられているとも限らない。なので「定義に従って形式的に書き換える」というアプローチではうまくいかないでしょう。むしろ、式の意味を（文脈まで考慮して）汲み取った上で正書法で書き直す、というのが適切な対処法です。
　ですから、ご質問にある「定義」なるものは、それを書いた方が使うひとつの方言の説明に過ぎない、と理解しておくのが宜しい。

No.3 回答者： ssaw 回答日時： 2022/03/22 09:31

xは正の整数、P(x)は「xは4の倍数」、Q(x)は「xは2の倍数」としたとき

∀x:P(x)→Q(x)は 正の整数全体{1,2,3,4,5,6,…}で
4の倍数であるような要素は2の倍数であることを表し
∀x(P (x)) : Q(x)は正の4の倍数全体{4,8,12,16,20,…}で
その要素は全て2の倍数であることを表す。

もう一つのほうはPとQを逆にして
P(x)は「xは2の倍数」、Q(x)は「4の倍数」としたとき
∃x:P(x)∧Q(x)は、正の整数全体{1,2,3,4,5,6,…}の中に
2の倍数で4の倍数でもある要素が存在することを表し
∃x(P (x)) : Q(x)は、正の2の倍数全体{2,4,6,8,10,…}の中に
4の倍数であるものが存在することを表している。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/03/22 05:18

1 で「全てのxに対して、P(x)→Q(x)が真である」って書いてるけど, 「∀x:P(x)→Q(x)」という命題にそこまでの意味はないよ. あくまで「『全ての x に対して P(x)→Q(x) が真である』と主張している」だけであって, その主張が正しいかどうかまでは言っていない.

で, 「全ての x に対して P(x)→Q(x) が真」であるなら, 着目するのは「P(x) が真であるような全ての x」だけだよね? その, 「P(x) が真であるような全ての x」に対して「Q(x) が真になるかどうか」が問題になるので, 「P(x) が真であるような全ての x」と制限することを「∀x(P (x)) : 」で表してるよ, ってことじゃないかね.

「なんらかの命題がある」ことと「その命題が真である」こととを切り離して考えよう.