負性インピーダンス回路の安定条件について

Question

電気回路のことについて困っています．

NIC(Negative Impedance Circuit)の安定条件についてです．
負性容量を作りたいと考えてこの回路を使いました．

オペアンプの安定条件は
Vin+ < Vin- 
であり，図上側のようにコンデンサと並列に入れた場合
Vin- = Vout*R1/(R1+R2), Vin+ = Vout*(1/jwCs)/(1/jwCs+1/jwC0)
ですので，整理すると
C0*R2/R1 < Cs
となります．
Ctotal = Cs - C0*R2/R1（条件より 0 < Ctotal < Cs）
と適当なコイルとでLC共振回路を作り動作確認をしたところ，条件内できちんと動作しました．

ところが図下側の回路の場合について同様に安定条件を求めると
C0*R2/R1 < Cs*[ 1-(L/Cs)/{R^2+(wL)^2} + j(R/wCs)/{R^2+(wL)^2} ]
で，左辺が実数，右辺が複素数となり常に成り立たないようにおもうのですが，動作確認をしたところ時折正常に動作しました．

正常に動作する範囲が図上側の回路が正常に動作した範囲よりも狭かったのでやはり安定条件が変わっていると思うのですが，安定条件を考えると常に動作しないはずなのになぁ．．．と二重に（？）困っています．

門外漢なので，とんだ勘違いをしているかもしれませんが，もしよろしければご教授お願いします．

inara · Accepted Answer

ジャイレータのシミュレーション結果を添付します。Z4 のところを単純にコンデンサに置き換えた回路だと、DC利得が無限大になってしまい、オペアンプの出力が飽和してしまいます。実際には、添付図のように、C4 と並列に抵抗（添付図の R4 ）を入れないとちゃんと動作しないと思います。添付図の波形は、ジャイレータに1Hz・±1Vの信号を入力したときのオペアンプの出力波形ですが、R5 が8kΩのとき、R4 < 5MΩとする必要があるようです。R5 の値によって R4 の上限値が変わり、R4 < 500*R5 くらいになるようです。

inara · Answer

＞R1=50k,R2=10k,R3=10k,C4=1uF,R5=約8kです．
その値でシミュレーションしてみます。平日は仕事で時間が取れないので少々お待ち下さい。

inara · Answer

オペアンプを2個使う回路というのは、ここ（http://homepage2.nifty.com/y-daisan/html/B61222.html）の【ジャイレータ】でしょうか。この回路で Z4 をコンデンサにして他を抵抗にしているのでしょうか。コンデンサと値抵抗の値を教えてください。

inara · Answer

inara&inara1です。
平日は仕事で時間が取れないので少々お待ちください。

inara · Answer

GICで作ったインダクタは添付図のようなものでしょうか。この回路だとインダクタンス L を非常に大きくできますが、直列抵抗 R も結構大きくなると思います。添付図のR1 と R2 と C の値はどれくらいでしょうか。

inara · Answer

平日は仕事なので頻繁にお答えできません。
LCRは圧電素子の等価回路でしたか。素子の値が分かったので、帰還率や過渡応答を計算してみます。回路シミュレータもあるのでどういう波形になるか調べてみます。オペアンプはどういう型番のものをお使いですか？オペアンプの影響もあるかもしれないので。

inara1 · Answer

画像を添付し忘れましたので以下に書きます。
＞下の回路で実験を行った時にはR>0でも正常に動作しない諸元が存在しました
これまでは、オペアンプが理想的な場合で考えましたが、オペアンプの増幅率の大きさと位相には周波数依存があります。増幅率 A（ω）を複素数で表わすと
　　　A0/{ 1 + j*√( A0^2 - 1 )*ω/ωmax }
となります。A0 は直流（ω=0）での増幅率、ωmax は A = 1 となる角周波数です（ωmax以上の周波数では増幅器にならない）。このようなオペアンプを使ったとき、増幅回路の部分の利得は
　　　A = 1/[ R1/( R1 + R2 ) + { 1 + j*√( A0^2 - 1 )*ω/ωmax }/A0 ]
となります。A0 → ∞ としたのが理想オペアンプです（このとき A → 1 + R2/R1）。

帰還率を
　　　β = a + j*b
としたとき、全体の利得は
　　　A*β = ( a + j*b )/[ R1/( R1 + R2 ) + { 1 + j*√( A0^2 - 1 )*ω/ωmax }/A0 ]
になりますが、この虚部が 0 で、なおかつ A*β の大きさが1以上なら不安定になります。上の式(b)は「βの虚部が0となること」となっていますが、正確には「A*βの虚部が0となること」です（A が実数の場合が多いため）。R > 0 のとき、b > 0 ですが、その場合でも、a の値によっては A*βの虚部が0で、なおかつA*βの大きさが1以上になる場合があると思います。数式処理ソフトでは解があることは分かりましたが、Co、Cs、R1、R2、L の値が分からないと、どういう R のときにそうなるか具体的な数値は出せません。Co、Cs、R1、R2、L の値は分かりますか？A0 は10^5 くらい、ωmax は 6×10^6 (rad/s)  くらいの値になります。

inara1 · Answer

＞あらゆる瞬間にin+端子にかかる電圧よりもin-にかかる電圧の方が高い」ことが安定の条件

混乱させるようで申し訳ありませんが、最終的に安定な状態というのは以下の3つあります（電源を入れた瞬間の状態を除きます）。
　　　（1）　いつも V+ < V-
　　　（2）　いつも V+ > V-
　　　（3）　いつも V+ = V-　（現実には入力オフセット電圧の差が残る）
（1）の場合、いつも V+ < V- だったら、オペアンプの出力電圧は - 電源側に振り切れたままです。（2）では、出力電圧は + 電源側に振り切れたままです。（3）は、帰還回路によってうまくバランスした状態で、オペアンプの出力電圧は、+ 電源と - 電源の間にあり、その電圧は安定しています。（1）と（2）は入力信号を入れた後のコンパレータ回路の状態に相当します。(1)～(3)が安定だったら全て安定じゃないかと思われるかもしれませんが、「いつも」というところがミソです。上の3つの状態の他に、（4）番目の状態があります。
　　　（4）　V- と V+ の電圧差が、大きくなったり小さくなったりを繰り返す（一定周期とは限らない）
これが不安定な状態です。tskskgtさんが考える（1）の状態も安定状態の１つですが、瞬間的に（2）や（3）の状態になったからといって、「最終的に」不安定では必ずしもないということです（電源投入直後は(1)～(3)の全ての場合が起こりえます）。最終的に（4）の状態にならなければいいのです。つまり、（4）の状態になる条件を考えて、その条件以外の範囲であれば安定ということになります。

＞複素数（位相差）ができている時点でアウトだと解釈した
アウトというのは安定じゃないという意味ですね。上にも書いたように、どういう場合に（4）の状態になるかを考えて、その範囲外かどうかで判断するといいと思います。ご質問の回路は、ここ（http://www.d.dendai.ac.jp/lab_site/dlab/CR.pdf）の4ページの図7.3と同じになります。増幅回路の部分の利得は
　　　A = 1 + R2/R1
で、帰還回路の部分がコンデンサなどがついた部分です。帰還回路の帰還率βは、質問にある最初の回路では
　　　β= Co/( Cs + Co )
２番目の回路では
　　　β= a + j*b
です（そのまま書くと長くなるので a と b で簡略化しました）。この回路が発振する（不安定になる）条件の1つは、5ページ目の冒頭にあるように
　　　A*β≧1 --- (a)
です。2つ目の条件は8ページの真ん中あたりに書いてある
　　　βの虚部が0となること ---- (b)
です。この２つの条件を満たさないと（4）の状態になりません。逆に言うと、（4）の状態にならないための条件は
　　　　　　A*β＜1 または βの虚部≠0
です。A*β≧1 であっても βの虚部 ≠ 0 なら（4）の状態になりません。

tskskgtさんはあらゆる瞬間を考えていますが、瞬間的にどのような状態になったとしても（ V+ > V- になっても）、最終的に不安定になるのは、式(a) と式(b) が同時に成り立つ場合だけです（それが成り立つのは特定の周波数だったりします）。それ以外の場合は、瞬間的に V+ > V- になっても、だんだん差が落ち着いてきて、最終的には上の(1)～(3)のいずれかの状態になります。

＞下の回路で実験を行った時にはR>0でも正常に動作しない諸元が存在しました
文字数制限のために、この返答は添付ファイルに書きました。

inara1 · Answer

回路が安定というのは、発振状態になる条件を満たさないということです。発振状態になる条件というのは、振幅条件と位相条件の２つあって、それが同時に等しくなるということです。２つの条件のうち１つしか満たさなければ安定です。Vin+ < Vin- というのは、Vin+ と Vin- がともに実数の場合（位相条件を満たしている場合）の安定条件です。Vin+ と Vin- の一方が複素数なら、位相条件を満たさないので安定です。

下側の回路では、 R > 0 ならば、Vin+ と Vin- の位相が一致しないので発振しません。R = 0 の場合でも、Cs > (R2/R1)*C0 ならば、振幅条件を満たさないので発振しません。

オペアンプの出力を Vo としたとき、上側の回路でも下側の回路でも
　　　Vin-/Vo = R1/(R1+R2) --- (1)
ですが、非反転入力のほうは、下側の回路では
　　　Vin+/Vo = A*[ ω*{ ω^2*( C0 + Cs )*L^2 + ( C0 + Cs )*R^2 - L } + j*R ] --- (2)
　　　　A = ω*C0/[ { 1 - ω^2*( C0 + Cs )*L }^2 + { ω*( C0  Cs )*R }^2 ]
となります。発振状態になるのは、式(1)と式(2)が実部も虚部も同時に等しくなる場合です。式(1)は実数で、A も実数ですから、発振条件の１つ（位相条件）は
　　　ω*{ ω^2*( C0 + Cs )*L^2 + ( C0 + Cs )*R^2 - L } + j*R
が実数となることです。したがって、R ≠ 0 ならば実数にならないので発振しません。

R = 0 の場合、式(2)は
　　　Vin+/Vo = ω^2*L*C0/{ ω^2*( C0 + Cs )*L - 1 }
となりますから、発振条件は
　　　Vin+/Vo = Vin-/Vo
つまり
　　　ω^2*L*C0/{ ω^2*( C0 + Cs )*L - 1 } = R1/(R1+R2)
です。これを書き換えると
　　　ω^2 = R2/L/( R2*Co - R1*Cs ) --- (3)
になります。ω^2 は正の数なので、発振条件を満たさないようにするには R2*Co - R1*Cs が負になるようにする、つまり
　　　Cs > (R2/R1)*C0
とすればいいことになります。ただし、Cs ＜(R2/R1)*C0 であっても、式(3)の ω が、オペアンプがアンプとして動作する周波数を超えていれば発振に至りません。

負性インピーダンス回路の安定条件について

ジャイレータのシミュレーション結果を添付します。

＞R1=50k,R2=10k,R3=10k,C4=1uF,R5=約8kです．

オペアンプを2個使う回路というのは、ここ（

この回答への補足

inara&inara1です。

GICで作ったインダクタは添付図のようなものでしょうか。

この回答への補足

平日は仕事なので頻繁にお答えできません。

画像を添付し忘れましたので以下に書きます。

＞あらゆる瞬間にin+端子にかかる電圧よりもin-にかかる電圧の方が高い」ことが安定の条件

回路が安定というのは、発振状態になる条件を満たさないということです。

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