スゴロクでゴール到達において何回でゴール出来るか？確率の質問です。

スゴロクでゴール到達において何回でゴール出来るか？確率の質問です。

条件
サイコロ（マス目1-6）
ゴールは20マス目（スタート0マス・途中、振り出し戻り無し・20マス到達時点でゴール

4-20回の範囲の個々の到達確率計算方法を教えて下さい。

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2010/04/30 15:09

k回サイコロを振って、ぴったりnマス目で止まる確率を、Q(k,n)とします。

たとえば、1回サイコロを振れば、1～6マス目に止まるので、
Q(1,1)=Q(1,2)=Q(1,3)=Q(1,4)=Q(1,5)=Q(1,6)=1/6
2回サイコロを振って、2～12マス目に止まる確率は、
Q(2,2)=1/36、Q(2,3)=2/36、Q(2,4)=3/36、・・・、Q(2,12)=1/36

この確率Qは、次のような漸化式が成立します。
Q(k,n)={Q(k-1,n-1)+Q(k-1,n-2)+Q(k-1,n-3)+Q(k-1,n-4)+Q(k-1,n-5)+Q(k-1,n-6)}/6

エクセルでも使えば、Q(k,n)は求めることができますね。

k回サイコロを振ったとき、20マス目に到達する（行き過ぎてもいい）確率P(k)は、
P(k)=Q(k-1,14)*1/6+Q(k-1,15)*2/6+Q(k-1,16)*3/6+Q(k-1,17)*4/6+Q(k-1,18)*5/6+Q(k-1,19)*6/6
で求められます。

No.1 回答者： Sinogi 回答日時： 2010/04/30 14:43

全部書き出したら?

ってだけでは、あんまりなので　考え方を少し

n回目にゴールするとして

・ｎ-1回目までの和
・ｎ回目に２０以上となる目の出方

で場合わけしましょう。


２０回目ゴールの場合
・１９回目までは１×19（１８以下にはならない）
・２０回目に１～６全てＯＫ


１９回目にゴールの場合
Ａ）
・１８回目までに１９となる組み合わせ（1と２）
・１９回目に１～６全てＯＫ
Ｂ）
・１８回目までに１８となる組み合わせ（全て１)
・１９回目に２～６全てＯＫ

などなど