2x2の回転行列についての質問です。

2x2の回転行列についての質問です。

下の問題が解けないのですが、どなたか解法を教えていただけませんか？


ある2x2 行列Aが、
　A =[1 5]
　　 [-2 3]であり、
また、AはCとPという二つの行列により、
　A = PC(P-1)←Pの逆行列
と表される。
Cが以下の形をとるとき、
C = [a -b]
　　[b a]
C及びPを求めなさい。
また、Cのスケール係数と角度を求めなさい。

お願いします。

No.2 回答者： aquatarku5 回答日時： 2010/05/11 17:58

A,Cを対角化します.

Aについて,
固有値方程式=(1-x)(3-x)-5(-2)=0
x=2+3i,2-3i これらに対応する固有ベクトルは
[1-3i] [1+3i]
[2 ], [2 ]
これより,2つの固有ベクトルを並べた行列Qを
[1+3i 1-3i]
[2 2 ]
とし,Q^(-1)AQを求めると,
[2-3i 0 ]
[0 2+3i]


Cについて,
固有値方程式=(a-x)^2+b(-b)=0
x=a+bi,a-bi これらに対応する固有ベクトルは,
[-1] [-1]
[ i], [-i]
これより,2つの固有ベクトルを並べた行列Rを
[-1 -1]
[ i -i]
とし,R^(-1)CRを求めると,
[a+bi 0 ]
[0 a-bi]


以上から,
R^(-1)CR
=R^(-1)・P^(-1)・APR
=(PR)^(-1)・A(PR)
=対角行列
=Q^(-1)AQ

これより,a+bi=2-3i,a-bi=2+3iを解いて,
a=2,b=-3.即ち行列C=
[ 2 3]
[-3 2]
これは,スケール倍×θ回転の合成として表現可能.即ちC=
[s 0][cosθ -sinθ]
[0 s][sinθ cosθ]
よって,
スケール係数s=√13
cosθ=2/√13,sinθ=-3/√13

一方P=QR^(-1)=
[-1 3]
[-2 0]

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/05/10 23:18

P を適当に文字でおいて A = PCP^-1 かつ C がその形であることを使って方程式を解く.