【緊急】この統計学(株式)の計算過程がわからない

【緊急】この統計学(株式)の計算過程がわからない

2資産の資産配分問題なのですが

株式のリターンをRs,安全資産のリターンをrf、運用資産全体のリターンをRp

投資家の目的関数は
E(Rp)-(γ/2){Var(Rp)} γ>0　

株式への投資比率をws,安全資産への投資比率をwfとするとき
Rp=wsRs+wfrfで与えられる。

Rpの期待値と分散は


E(Rp)=wsE(Rs)+wfrf…(1)　（rfは定数）
Var(Rp)=ws^(2)Var(Rs)…(2)

【１】↑これを導出する過程として以下の２資産の公式を適用するのですが
その計算過程がわかりません。

２資産の公式
（期待値） E(Rp)=w1E(R1)+w2E(R2)
(分散)　Var(Rp)=w1^(2)Var(R1)+w2^(2)Var(R2)+2w1w2Cov(R1,R2)

(1)、(2)を目的関数に代入すると

E(Rs)ws+rfwf-(γ/2)Var(Rs)ws^2…(3)

投資比率の和は１にならなければならないので
(ws,rf)は制約条件式

ws+wf=1を満たす必要がある。

ここから最適化問題を解くレベルに移ります。

wf=1-wsを(3)に代入して目的関数wsだけで表す。

E(Rs)ws+rf(1-2w)-(γ/2)Var(Rs)ws^2
=(E(Rs)-r)ws-(γ/2)Var(Rs)ws^2+rf≡f(ws)となり

これを最大にするwsを求めます。

二次関数f´(ws)=(E(Rs)-rf)-γVar(Rs)ws=0 ←´はダッシュを示す
【２】↑この計算過程もわかりません。

ws=(1/γ)*｛E(Rs)-rf｝/｛Var(Rs)｝



この【１】【２】をご教授下さい。お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： aquatarku5 回答日時： 2010/05/11 22:57

【１】２資産1,2を投資比率w1,w2で投資した場合の

　　　ポートフォリオの期待値、分散の公式を用いるにあたり、
　　　資産1→株式、資産2→安全資産とすると、
　　　R1=Rs、w1=ws、R2=rf、w2=wf
　　　安全資産のリターンrfは、リスクがないため一定、即ちrf=E(rf)。
　　　したがって、Var(rf)=E((rf-E(rf)^2)=0
　　　　　　　　　Cov(Rs,rf)=E((Rs-E(Rs)(rf-E(rf))=0
　　　以上から、E(Rp)=ws・E(Rs)+wf・rf　・・・(1)
　　　　　　　　Var(Rp)=ws^2・Var(Rs)　・・・(2)　が得られる。


【２】(1),(2)が代入された目的関数の式(3)について、
　　　E(Rs),rf,Var(Rs),γはいずれも定数で、変数は
　　　ws,wfの２つで、さらにws+wf=1が制約条件になる。
　　　当該制約条件を考慮し、目的関数fを変数wsのみで表すと、
　　　f=f(ws)=E(Rs)ws+rf(1-ws)-（γ/2)Var(Rs)ws^2
　　　=rf+(E(Rs)-rf)ws-（γ/2)Var(Rs)ws^2
　　　とwsの二次関数で表される。

　　　γ>0、リスク資産のためVar(Rs)>0から、上記二次関数は、
　　　ws^2の係数が負となるので、極値=最大値となる。
　　　したがって1次導関数f'(ws)=0とおいて、最大値を与える
　　　wsを求めればよい。
　　　f(ws)をwsで微分し、
　　　f'(ws)=(E(Rs)-rf)-（γ/2)Var(Rs)・2ws
　　　これが0となるようwsを求めると、
　　　ws=(E(Rs)-rf)/(γ・Var(Rs))となる。
　　　（リスク資産であることから、E(Rs)>rfとなるので、wsは
　　　　正の値になりますね）

この回答へのお礼

有難うございました。助かりました。

お礼日時：2010/05/13 02:15