xsin(1/x)

xsin(1/x)
sinx/x

この二つのε-δ論法での証明方法がわかりません。
明日テストなので早めに答えていただくと嬉しいです。

No.1 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/06/10 05:56

∀ε>0に対して

0<|x|<ε→|xsin(1/x)|≦|x|<ε
→lim_{x→0}xsin(1/x)=0

∀ε>0に対して
∃K>max(1/ε,1)
x>K→0<1/x<1/K<min(ε,1)<π/2
→sin(1/x)<(1/x)
→cos(1/x)<xsin(1/x)<1
→|xsin(1/x)-1|<|cos(1/x)-1|<|1/x|<ε
→lim_{x→∞}xsin(1/x)=1

∀ε>0に対して
∃δ<min(ε,1)
0<|x|<δ<min(ε,1)<π/2
→sin(x)<x
→cos(x)<(sin(x))/x<1
→|(sin(x))/x-1|<|cos(x)-1|<|x|<ε
→lim_{x→0}(sin(x))/x=1

∀ε>0に対して
∃K>1/ε
x>K→|sin(x)/x|≦1/x<1/K<ε
→lim_{x→∞}sin(x)/x=0