No.2ベストアンサー
- 回答日時:
δ関数を知らなければ意味がないので躊躇したが
δ関数を使う方が簡単なので一応書いときます。
h(x)はヘビサイド(単位ステップ)関数。
改めてYの分布関数をG(y)、Yの密度関数をg(y)と置く。
G(y)
=∫(-∞,∞)f(x)h(y-(x-1)^2)dx
両辺をyで微分すると
g(y)
=∫(-∞,∞)f(x)δ(y-(x-1)^2)dx
(t=x-1の変数変換)
=∫(-∞,∞)f(t+1)δ(y-t^2)dt
(積分範囲を分割)
=∫(-∞,0)f(t+1)δ(y-t^2)dt
+∫(0,∞)f(t+1)δ(y-t^2)dt
(前項をs=-tと変数変換した後t=sと変数変換)
=∫(0,∞)(f(1-t)+f(1+t))δ(y-t^2)dt
y<0のときにはδ(y-t^2)=0だからg(y)=0
0<yのときには√(s)=tと変数変換して
g(y)
=∫(0,∞)(f(1-√(s))+f(1+√(s)))δ(y-s)ds/2/√(s)
=(f(1-√(y))+f(1+√(y))/2/√(y)
=f(1-√(y))/2/√(y)
関数を代入すると1と同じ結果がでる。
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