楕円の互いに直交する接線の交点の軌跡を求める問題です。

楕円の互いに直交する接線の交点の軌跡を求める問題です。
楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1の互いに直交する接線の交点の軌跡を求める問題です。
接線の方程式をy=mx+bとおき、楕円の方程式に代入し、判別式D=0から
b=±√(a^2m^2+b^2)から接線の方程式y=mx±√(a^2m^2+b^2)を求めました。もう一方の方程式は傾きが-1/mであることから、y=-1/m・x±√(a^2/m^2+b^2)を求めました。この２つの方程式から、
x={±√(a^2/m^2+b^2)∓√(a^2m^2+b^2)}/(m+1/m)
y={±m√(a^2/m^2+b^2)∓1/m・√(a^2m^2+b^2)}/(m+1/m)
となり、mを消去しようとしたのですが、なかなかうまくいきません。
アドバイスの程お願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/07/16 10:06

計算は煩雑だが、考え方は至ってsimple。

何で難しく考えるんだろう、回答者も。。。。。。。ｗ

2接線の交点を(α、β)とすると、その接線は　y＝m(x－α)＋β　であらわせる。
この接線を与えられた楕円の方程式に代入すると、(a＾2*m＾2+b＾2)x＾2＋2a＾2*m(β-mα)x＋a＾2(β-mα)＾2-(ab)＾2＝0。
これが接するから　判別式＝0　→　(a＾2-α＾2)m＾2＋2αβm＋(b＾2-β＾2)＝0.
2つの接線が直交するから、mの方程式の2解の積＝-1　である。
(b＾2-β＾2)/(a＾2-α＾2)＝-1　つまり　α＾2＋β＾2＝a＾2＋b＾2。
これを流通座標に直すと、　x＾2＋y＾2＝a＾2＋b＾2。
但し、a＾2-α＾2≠0から、x≠±a。

この回答へのお礼

ありがとうございます。このような展開の方が大変わかりやすいですね。自分なりに計算した方法でも何とかx＾2＋y＾2＝a＾2＋b＾2を導くことができました。ありがとうございました。

お礼日時：2010/07/16 15:15

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/07/15 23:07

こんばんわ。

＞接線の方程式をy=mx+bとおき、
楕円の式で bが使われていますが、ここで y切片に bを入れた意味というのは・・・？

＞傾きが-1/mであることから、y=-1/m・x±√(a^2/m^2+b^2)を求めました。
2つの接線の y切片が同じということは、y軸上で直交しているということになりますね。

次の手順で接線を描いてみると、そうはならないことがわかると思います。
・まず、楕円を描きます。
・楕円上の 1点における接線を引きます。
・上の接線に対して直交し、かつ楕円に接する直線を考えると、1本だけしか引けないことがわかります。

ということは、楕円上の 1点が決まれば、2本の接線が決まってしまうことになりますね。
さらに言い換えれば、2本の接線は楕円上の 1点の座標(p, q)によって決まることになります。


一度、絵を描いて、もう一度考えてみてください。＾＾

この回答へのお礼

ありがとうございます。y=mx+nとおき、計算しました。y切片のbと楕円の方程式のbは当然何の関係もないですから。大変ご迷惑おかけ致しました。自分なりに計算した方法でも何とかx＾2＋y＾2＝a＾2＋b＾2を導くことができました。ありがとうございました。

お礼日時：2010/07/16 15:18