数学…台形の面積と角度

数学…台形の面積と角度


数学が苦手なうえ社会人で何年も勉強から遠ざかってたので全く分かりません…
どなたか回答して下さると助かります。


※平行な２辺AD//BCをもつ台形ABCDは次を満たすものとする

AB=5・BC=8・CD=7・AD=2

この時次を求めよ

cosBと台形ABCDの面積


どのように解けばよいかさっぱりです…

No.2 回答者： kagakusuki 回答日時： 2010/08/02 02:27

　点AからBCに向かって垂線を引き、その垂線とBCとの交点を仮に点Eとします。

　同様に、点DからBCに向かって垂線を引き、その垂線とBCとの交点を仮に点Fとします。
　三角形ABEはABを斜辺とする直角三角形になりますから、三平方（ピタゴラス）の定理により

AE^2=AB^2-BE^2
=5^2-BE^2
=25-BE^2……(1)

　三角形CDFはCDを斜辺とする直角三角形になりますから、三平方（ピタゴラス）の定理により

DF^2=CD^2-CF^2
=7^2-CF^2
=49-CF^2……(2)

　四角形AEFDの各頂点の角度は直角ですから

EF=AD=2……(3)
AE=DF……(4)

になります。
(3)より

CF=BC-BE
=BC-EF-BE
=8-2-BE
=6-BE……(5)

(1)(2)(4)より

25-BE^2=49-CF^2
=49-(6-BE)^2
=49-36+12BE-BE^2
=13+12BE-BE^2

12BE=25-13=12

よって

BE=1……(6)

コサインの定義により

∴cosB=BE/AB=1/5=0.2


(1)(6)により

AE^2=25-BE^2=25-1^2=25-1=24
AE=√24=2√6……(7)

∴台形の面積=(上底+下底)×高さ÷2=(AD+BC)×AE÷2=(2+8)×2√6÷2=10√6

No.1 回答者： Anti-Giants 回答日時： 2010/08/02 00:38

対角線ACを補助線として引きます。

底辺の比を考えて
ABCの面積 =　4×BDAの面積
(#1)1/2×AB×BC×sin(B) = 4×1/2×CD×CA×sin(D)

角B,Dに対する余弦定理
BD^2 = AB^2 + BC^2 - 2×AB×BC×cos(B)
BD^2 = CD^2 + DA^2 - 2×CD×DA×cos(D)
ふたつより
(#2)AB^2 + BC^2 - 2×AB×BC×cos(B) = CD^2 + DA^2 - 2×CD×DA×cos(D)

(#1)をsin(D) = ～
(#2)をcos(D) = ～
の形に変形して cos^2(D) + sin^(D) = 1 を使います
その代入した式で、sin^2(B) = 1 - cos^2(B) を使います
すると、cos(B)についての二次方程式が得られるので、それを解きます

cos(B)が分かれば、sin(B)も分かります
sin(B)が分かれば、高さがわかります
高さが分かれば、面積は計算できます