A 回答 (2件)
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No.1
- 回答日時:
対角線ACを補助線として引きます。
底辺の比を考えて
ABCの面積 = 4×BDAの面積
(#1)1/2×AB×BC×sin(B) = 4×1/2×CD×CA×sin(D)
角B,Dに対する余弦定理
BD^2 = AB^2 + BC^2 - 2×AB×BC×cos(B)
BD^2 = CD^2 + DA^2 - 2×CD×DA×cos(D)
ふたつより
(#2)AB^2 + BC^2 - 2×AB×BC×cos(B) = CD^2 + DA^2 - 2×CD×DA×cos(D)
(#1)をsin(D) = ~
(#2)をcos(D) = ~
の形に変形して cos^2(D) + sin^(D) = 1 を使います
その代入した式で、sin^2(B) = 1 - cos^2(B) を使います
すると、cos(B)についての二次方程式が得られるので、それを解きます
cos(B)が分かれば、sin(B)も分かります
sin(B)が分かれば、高さがわかります
高さが分かれば、面積は計算できます
No.2
- 回答日時:
点AからBCに向かって垂線を引き、その垂線とBCとの交点を仮に点Eとします。
同様に、点DからBCに向かって垂線を引き、その垂線とBCとの交点を仮に点Fとします。
三角形ABEはABを斜辺とする直角三角形になりますから、三平方(ピタゴラス)の定理により
AE^2=AB^2-BE^2
=5^2-BE^2
=25-BE^2……(1)
三角形CDFはCDを斜辺とする直角三角形になりますから、三平方(ピタゴラス)の定理により
DF^2=CD^2-CF^2
=7^2-CF^2
=49-CF^2……(2)
四角形AEFDの各頂点の角度は直角ですから
EF=AD=2……(3)
AE=DF……(4)
になります。
(3)より
CF=BC-BE
=BC-EF-BE
=8-2-BE
=6-BE……(5)
(1)(2)(4)より
25-BE^2=49-CF^2
=49-(6-BE)^2
=49-36+12BE-BE^2
=13+12BE-BE^2
12BE=25-13=12
よって
BE=1……(6)
コサインの定義により
∴cosB=BE/AB=1/5=0.2
(1)(6)により
AE^2=25-BE^2=25-1^2=25-1=24
AE=√24=2√6……(7)
∴台形の面積=(上底+下底)×高さ÷2=(AD+BC)×AE÷2=(2+8)×2√6÷2=10√6
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