この無限級数の和の問題を教えてください。

この無限級数の和の問題を教えてください。
（２）の問題です。
このcos２/３Πをどうしたらいいんですか？
ちなみに答えは２１/２６です。

No.2 ベストアンサー 回答者： 178-tall 回答日時： 2010/08/03 08:35

まず、cos(2π/3) は (1, -1/2, -1/2)) の繰り返し。

Σ の中身は、
　{(1/3)^3}^k * (1 - 1/6 - 1/18) = {(1/3)^3}^k * (7/9)
になりますね。

結局、
　(7/9)Σ{(1/3)^3}^k
を勘定することになりました。
　　　　

No.6 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/08/05 05:41

Σ_{n=0～∞}(1/3)^n(cos((2n/3)π))

=Σ_{k=0～∞}((1/3)^{3k}(cos((2{3k}/3)π))+(1/3)^{3k+1}(cos((2{3k+1}/3)π))+(1/3)^{3k+2}(cos((2{3k+2}/3)π)))
=Σ_{k=0～∞}((1/3)^{3k}+(1/3)^{3k+1}(-1/2)+(1/3)^{3k+2}(-1/2))
=Σ_{k=0～∞}(1/3)^{3k}(1+(1/3)*(-1/2)+(1/3)^2*(-1/2))
=(7/9)Σ_{k=0～∞}(1/27)^k
=(7/9)/(1-(1/27))
=21/26

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/08/04 14:29

補足ありがとうございます＞#3. そういうことです. とりあえず手をこまねいているよりは動かした方が (だいたい) 速い.

で, 全体としても #3 が最も適切. #2 の方針で行ってもいいけど, そのためには求める級数が絶対収束することを確認しておかなければならない (難しくないけど). #4 も同様かな.

No.4 回答者： spring135 回答日時： 2010/08/03 10:11

(1)

1/n(1-n^2)=1/n+(1/2)/(1-n)-(1/2)/(1+n)
=(1/n-1/(n+1))/2+(1/n-1/(n-1))/2

lim(n→∞)?(k=2～n)(1/k(1-k^2))=lim(n→∞)?((1/2-1/(n+1)/2+(1/(n-1)-1)/2)
=1/4-1/2=-1/4

(2)Realは実数部を意味する。オイラーの公式により
?(ｎ=0～∞)(1/3)^n(cos(2πn/3))=Real?(ｎ=0～∞)(1/3)^n(cos(2πn/3)+isin(2πn/3))
= Real?(ｎ=0～∞)(1/3)^n(e^(i2πn/3))= Real?(ｎ=0～∞)( e^(i2π/3)/3)^n
つまり公比e^(i2π/3)/3の等比級数の和に還元される
= Real(1/(1- e^(i2π/3)/3)= Real(1/(1- (-1/2+i√3/2)/3))
= Real(6/(7-i√3)＝15/26

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/08/03 09:31

おはようございます。

2π/3× nについては、単位円上を「ぐるぐる」させればとる値が見えてきますね。
#1さんが「n を変えて計算してみる」と言われているのは、
この様子を実際に値を入れて見なさいよと言われているのだと思います。

で、このような問題のときですが、少し手間がいります。
というのは、
まず、Σの中にある一般項を書き下してみると、いずれも k＝ 0, 1, 2・・・として
(i) n＝ 3kのときは、a(n)＝ (1/3)^n
(ii) n＝ 3k+1, 3k+2のときは、a(n)＝ (1/3)^n* (-1/2)

となります。

このような数列の場合、
(i) Σ[n＝ 0～ 3k] a(n)＝・・・において、n→ ∞とした値
(ii) Σ[n＝ 0～ 3k+1] a(n)＝・・・において、n→ ∞とした値
(iii) Σ[n＝ 0～ 3k+2] a(n)＝・・・において、n→ ∞とした値

のそれぞれが同じになることを示す必要があります。
たとえば、仮に n＝ 3k+2のときだけ発散したり、収束する値が異なるようなことがあれば、
他の場合が収束していても、答えは発散または振動となります。

単なる穴埋めであれば単純に計算だけでもいいですが、
記述式の場合はこのような回答にしておく方がよいと思います。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/08/03 01:49

n を変えて計算してみる.