制御工学・フィードバック制御系の問題です
以下の問題がわかりません。
アドバイスお願いします。
C(s)=(k/s)+4, H(s)=1, P(s)=1/(s^2+3s-1)です。
(1)このシステムが安定となるkの範囲をも求めよ。
(2)D(s)=0とする。このシステムが安定となるkの値に対して、目標値が単位ステップ信号,および単位ランプ信号のとき、定常偏差をそれぞれ求めよ。
(3)R(s)=0とする。このシステムが安定となるkの値に対して、外乱が単位ステップ信号,および単位ランプ信号のとき、定常偏差をそれぞれ求めよ。
私が解いたところ、
(2)と(3)の答えがすべて0になってしまいました。さすがに答えがすべて0にならないと思い質問しました。
A 回答 (1件)
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No.1
- 回答日時:
1)まずオープンループ伝達関数G(s)を求める
G(s) = C(s)*[P(s)/(1 + P(s)H(s))]
= (k + 4s)/(s^2(s + 3)) (1)
次に入力から出力への伝達関数 T(s) を以下に求める
T(s) = Y(s)/R(s) = G(s)/(1 + G(s)) (2)
式(2)に式(1)を代入して整理すると、
T(s) = Y(s)/R(s) = (k +4s)/(s^3 + 3s^2 + 4s +k) (3)
を得る。システムの安定性をRouth-Hurwitz stability criteriaを使って調べる;
式(3)の分母(特性方程式)を整理して
s^3 1 4
s^2 3 k
s^1 (12-k)/3 0
s^0 k 0
以上の結果よりkは 0 =< K =< 12 を得る。
2) D(s)=0の時の定常偏差
最終値の定理を使います。
a) 単位ステップ信号入力の時の定常偏差;
ess(t)=lim(s→0)s*(1/(1 + G(0))*(1/s)=1/(1 + ∞) = 0
b) 単位ランプ信号入力の時の定常偏差;
ess(t)=lim(s→0)s(1/s^2)/(1 + G(s))
=lim(s→0)1/(s + sG(s))
= lim(s→0) 1/(sG(s))
= lim(s→0)(1/(s*(k +4)/(s^2(s +3)))
= lim(s→0)((s +3)/(k +4s)
= 3/k
3) R(s)= 0 とした時の外乱 D(s) が単位ステップ信号,および単位ランプ信号のときの定常偏差
入力R(s)がゼロですので 偏差 Ea(s) を D(s) に対する偏差、即ち、
Ea(s) = D(s) - Y(s)*C(s) (4)
で考えます。
ここで、 Y(s) を D(s) と C(s)を使い、( G(s)=1/(s(s+3))、 C(s)= (4s + k)/s )
Y(s) = G(s)/( 1 + G(s)C(s) ) *D(s) (5)
と求めます。
式(5)を式(4)に代入して整理すると、
Ea(s) = (1 - G(s)/( 1 + G(s)C(s) ) )*D(s) (6)
この式(6)にG(s)とC(s)の伝達関数を代入して整理して
Ea(s) = (s^3 + 3s^2 + 3s + k)/(s^3 + 3s^2 + 4s + k) *D(s) (7)
を得る。
a) 単位ステップ信号入力の時の定常偏差;
ess(t)=lim(s→0)s*(s^3 + 3s^2 + 3s + k)/(s^3 + 3s^2 + 4s + k)*(1/s)
= 1
b) 単位ランプ信号入力の時の定常偏差;
ess(t)=lim(s→0)s*(s^3 + 3s^2 + 3s + k)/(s^3 + 3s^2 + 4s + k)*(1/s^2)
= ∞
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