複素フーリエ級数展開を導くときの係数CnとC-nについて

複素フーリエ級数展開を導くときの係数CnとC-nについて
http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-2-4Spectrum.htm
のページで言うと式2-2-10のところからわかりません。

係数は１つのCnでかけた方が美しいので最終的な形を見越してまとめていくので
しょうが・・・

Cnのほうはan-jbnでC-ｎはan＋jbnですが、C-nを別の文字Kｎとして
Cn=1/2(an-jbn)で、Kｎ＝1/2（an＋jbn）
これをどうやったらｊの前の符号だけをマイナスに変えられるのでしょうか？・・・(1)


また、式2-2-11でeの指数の符号-ｊｎωｔの符号をプラスにする際にシグマの範囲が
変わる理屈ご存知でしたらご教示頂きたく思います。・・・(2)

シグマは総和をあらわす記号ですが、範囲のはじめと終わりは順序数（自然数）という
決まりがあるのでしょうか？ｎ＝○という形で記載があればｎだから自然数かなとは
思いますが・・・今回は範囲がｎ＝－∞になっているので整数の範囲に勝手に拡張されてます。

そこらへんもあわせてご教示いただけるとうれしいです。よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： cocacola2010 回答日時： 2010/08/27 13:06

質問者さんがどの辺りで躓いているのかよく分からないので、

いくつか書いていきます。

まず天下り的に知識から

フーリエ級数展開は実数の関数を表せ、
複素フーリエ級数展開は複素数の関数を表せます。
つまり複素フーリエ関数はフーリエ級数展開の上位バージョンです。
ですから、参照HPは複素フーリエ級数展開を導いているというよりは、
（実数）フーリエ級数展開との対応をとっている、といった方がベターです。
具体的に言うと、複素フーリエ変換にCn=an-jbnでC-n=an＋jbn、
つまりCnとC-ｎが複素共役である、という条件が加わると
複素フーリエ展開で表される関数は実数関数に制限されます。


参考HPの流れをざっくりと、

フーリエ級数展開はsin,cosで表される。
これをオイラーの公式でe^(jnwt)の形に分解すれば複素フーリエ展開になりそうだ。
分解してみると
e^(jwt), e^(2jwt), e^(3jwt), e^(4jwt)・・・e^(jnwt)・・・・
e^(-jwt), e^(-2jwt), e^(-3jwt), e^(-4jwt)・・・e^(-jnwt)・・・・
等の項が出てきたがそれぞれの係数をどう置こう？正方向に無限個、負方向に無限個・・・
sin,cosの時は正方向に無限個だけだったのに項の数が倍になってしまった。
よし、自然数を使ってそれぞれの項にかかる係数は、次のように置くことにしよう。
C1, C2, C3, C4・・・Cn・・・
C-1,C-2,C-3,C-4・・・C-n・・・
負の方向の項には自然数nにマイナスをつけてカバー。
シグマで足し合わせるときには第1項から第∞個まで足し合わせればOKだな。
実際に計算してみると、フーリエ級数展開の整数を用いて
Cn =an-jbn　　
C-n=an＋jbn
という対応が取れるみたいだ。
・・・・・4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4・・・・・番目の項がそれぞれあるわけだから
自然数nよりも整数mで表現したほうが綺麗だ。
正の項の場合は、Cne^(jnwt)はそのままCme^(jmwt)で置き換えてよさそうだ
負の項の場合は、例えばC-2e^(-j2wt)はCme^(jmwt) [m=-2]だから
マイナスをjの前につけずに常にCme^(jmwt)で表してしまってよさそうだ。
つまり
Σ（n=1→∞）C-ne^(-jnwt)
にm=-nを代入してやれば
Σ（n=1→∞）C-ne^(-jnwt)=Σ（m=-1→-∞）Cme^(jmwt)か
m=0の時は、項がe^(j0wt)=1だから、定数a0/2を係数C0に還元してやることにしよう。
mがマイナスの項もあるからシグマで足し合わせるときは第-∞項から第∞項まで
足し合わせないといけないな。
結局全部まとめるとΣ（m=-∞→∞）Cme^(jmwt)
記号は何でもいいからmじゃなくてnを使っておくか、
Σ（n=-∞→∞）Cne^(jnwt)



質問に答えられて無いかも知れないですけど。
参考程度に。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
またよろしくお願いします。

お礼日時：2010/08/30 00:39

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/08/27 11:27

(1) は何を言わんとしているのか理解できません. 「c_{-n} をそのようにおいた」だけであり, 「符号を変える」とかいう処理をしているわけではありません.

(2) も今一つ不明だなぁ. 式2-2-11 は式2-2-10 の上の式を書き換えただけであり, この 2つを比較すればわかるように「シグマの範囲」は変わっていません.
あと「シグマの範囲」についてですが, この形では通常「はじめと終わりは整数」でしょう.

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2010/08/30 00:39