整式f(x)は、すべての実数tに対して、

整式f(x)は、すべての実数tに対して、
(t+1)f(t+1)-(t-1)f(t-1)=t^2+t+1
を満たすとする。このとき、整式f(x)の次数nを求めよ。

f(x)=ax^n + bx^(n-1)・・・・・とし(a≠0)、
g(x)=xf(x)とおくと、
g(x)=ax^(n+1)+bx^n +・・・・・であり、与えられた等式は、
g(t+1)-g(t-1)=t^2+t+1・・・・・(1)

g(t+1)-g(t-1)
=a{(t+1)^(n+1)-(t-1)^(n+1)}+b{(t+1)^n-(t-1)^n}+【(n-1次以下)】
=a{2(n+1)t^n+(n-1次以下)}+b{2nt^(n-1) +(n-2次以下)} +(n-1次以下)
=【2a(n+1)t^n +(n-1次以下)】

よって、(1)の両辺の最高次の項の次数を比較して、
n=2

※ ax^(n+1)は、axのn+1乗の意味です。

教えてもらいたいのは、【 】で囲った2ヶ所です。
1つ目の【 】の(n-1次以下)というのは、どこから、なぜ、出てきたのか、と疑問に思いました。
そして、2つ目の【 】は、どのような計算でそのような式になったのか、これも疑問に思いました。

教えてください。よろしくお願いします。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/08/29 23:46

最初に、f の係数を置くときに、・・・・・ を使わずに

f(x) = ax^n + bx^(n-1) + (xのn-2次以下の式)　とし (a≠0)
とでも書いておけば、以後の記法と整合性があって
解り易かったのではないでしょうか。

g(x) = ax^(n+1) + bx^n + (xのn-1次以下の式)　なので、
g(t+1) = a(t+1)^(n+1) + b(t+1)^n + (t+1のn-1次以下の式)。
右辺各項を二項展開して
a(t+1)^(n+1) = at^(n+1) + a(n+1)t^n + (tのn-1次以下の式)
b(t+1)^n = bt^n + (tのn-1次以下の式)
より、
g(t+1) = at^(n+1) + a(n+1)t^n + bt^n + (tのn-1次以下の式)。
同様に計算して、
g(t-1) = at^(n+1) - a(n+1)t^n + bt^n + (tのn-1次以下の式)。
引き算すれば、
g(t+1) - g(t-1) = 2a(n+1)t^n + (tのn-1次以下の式)　となります。

(tのn-1次以下の式) ± (tのn-1次以下の式) = (tのn-1次以下の式)
であることに注意しましょう。

No.2 回答者： OKXavier 回答日時： 2010/08/29 15:44

>１つ目の【】(n-1次以下)というのは、どこから、なぜ、出てきたのか

これは(n-1)次以下の計算が必要ないのでこのように省略して書いてい
るものです。

>２つ目の【】、どのような計算でそのような式になったのか

上の式で
a{2(n+1)t^n=2a(n+1)t^n

と係数aを掛けただけです。

本来は、
=【2a(n+1)t^n +(n-1次以下)】
でなく、

=2a(n+1)t^n +【(n-1次以下)】
と書くべきところです。

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/08/29 15:34

こんにちわ。

＞f(x)=ax^n + bx^(n-1)・・・・・とし(a≠0)、
ここは、
f(x)=ax^n + bx^(n-1)+ ・・・・・(a≠0)

と定数項まで続く式になっていますよね。
n次の整式と考えているので、最高次数の係数：aは 0でないとしています。

g(t+1)-g(t-1)の計算で、【】の部分というのは x^(n-1)、x^(n-2)、・・・、x^0（定数項）まで続く式になります。

右辺が 2次式とわかっていて、その次数を考えるだけであれば左辺も最高次数がわかればよいですね。
いまの問題では、f(x)は最高次数だけでなく、その次の次数も考えておかないと、g(t+1)-g(t-1)の次数を考えることができないので、「あらかじめ」f(x)の x^(n-1)次の項まで与えていることになります。

「降べきの順」を少し強く意識してみてください。