連続性の証明課題が不合格になりました…orz

連続性の証明課題が不合格になりました…orz

sin x の連続性の証明(0<x<π/2ならばsinx<xを利用する)ですが、
|sin(x+h)-sin(x)|→0(h→0)を示す方向で考えます。

加法定理より|sin(x+h)-sin(x)|=|2cos(x+h/2)*sin(h/2)|
cos(x+h/2)< 1 より　|2cos(x+h/2)*sin(h/2)|<=2*|sin(h/2)|

sin(h/2)に関して、
(h/2)>0ならば0<h/2<π/2より0<sin(h/2)<(h/2)…(1)
(h/2)<0ならば0>h/2>-π/2よりsin0=0,0>sin(h/2)
又、0>h/2>-π/2,0<-h/2<π/2よりsin(-h/2)<(-h/2),-sin(h/2)<-(h/2),sin(h/2)>(h/2)
∴0>sin(h/2)>(h/2)…(2)

絶対値で考えると0<|sin(h/2)|<|h/2|
この極限は0<lim[n→0]|sin(h/2)|<lim[n→0]|(h/2)|
よってlim[n→0]|sin(h/2)|=0…(3)

従って|2cos(x+h/2)*sin(h/2)|<=2*|sin(h/2)|の極限は
lim[n→0]|2cos(x+h/2)*sin(h/2)|<=lim[n→0]|2*|sin(h/2)|
(3)よりlim[n→0]|2cos(x+h/2)*sin(h/2)|=0

以上よりsin x は連続している。


という感じでどうでしょう？
宜しくお願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： aurumnet 回答日時： 2010/09/10 13:20

#3です　すいません

消して修正中に回答ボタン押してしまっていたようで意味わかんない内容になってました。

>>以上よりsin x は連続している。
>これでいえてるとは思えません。
ここからの修正とおもってください

>|2cos(x+h/2)*sin(h/2)|<=2*|sin(h/2)|
後にhの設定が書かれているが、この式を出す前にhの設定を言っておかないと式が成立していない。

sinが奇関数でありsin(x)=sin(-x)であること
また、hの範囲がどこにあるか書いておかなければならない。
sin(x)<xが成立する条件は0<x<π/2と決められているから
(奇関数である条件も組み合わせて-π/2<h<π/2)

採点する先生によってはxの範囲が-∞から+∞までできているか？と考えるかもしれないから
sinがx=π/2に関して線対称、sinは(π,0)に関して点対称、sinxは2π周期の関数などの条件を入れて0<x<π/2の範囲だけ考えればいいとしたほうがいいかも？

この回答へのお礼

ご指摘、ありがとう御座います。
hの扱いに関しては気にかかっていた点もありますので、参考になります。

お礼日時：2010/09/10 15:02

No.5 回答者： juju6onchu 回答日時： 2010/09/10 10:49

Ｎｏ４です。

あと

・先生が合・不合を間違えた。

・誰かに答えをうつさせてあげて、それが発覚した。（採点すれば、うつした人・うつさせた人は大抵分かります）

・丁度先生の虫の居所が悪かった。

などの理由も考えられますね。・・・


まあ冗談でなく、何故不合格なのか（どこがまずかったのか）、先生に聞きに行くのが一番やと思いますよ。色々教えて頂けたら、非常に勉強になって得をします。

この回答へのお礼

先ほどのjuju6onchuさんのご指摘を勘案すれば、正答といえなかった気がします。
一度、先生には質問しようと思います。

お礼日時：2010/09/10 14:56

No.4 回答者： juju6onchu 回答日時： 2010/09/10 10:28

少し手直しするならば、

・解答２行目・・cos(x+h/2)< 1 より→｜cos(x+h/2)｜≦ 1 より

※イコールが抜けているのはご愛敬。ただ－１以上も示さねば。

・３行目のはじめ・・「h→0 より｜h｜＜π/2 かつ h≠0 としてよい」の一文を入れるべき。


それ以外には思い付きません。書いた解答がこの通りならば、

・論証ということで上の２番目を特に問題視された。

・Ｎｏ１さんのいわれる様にεδで示さねばならなかった。

・名前を書き忘れた。

のいずれかでしょう。

この回答へのお礼

>>「h→0 より｜h｜＜π/2 かつ h≠0 としてよい」

そうですね、明記すべきでした。
又、解答2行目のご指摘は参考になります。

ありがとう御座います！

お礼日時：2010/09/10 14:50

No.3 回答者： aurumnet 回答日時： 2010/09/10 09:05

和積の公式まではok

cos(x+h/2)の項が考えられていない。
cos(x+h/2)見たらすぐ分かるけど、
h->0でcos(x+h/2)が発散しないことを言っておくべき
（∞×0=0とはならないので）

また、h=0のときも抜けていますね

>以上よりsin x は連続している。
これでいえてるとは思えません。
この証明だとh->0のときの
|sin(x+h)-sin(x)|つまり|sin(x)-sin(x)|
が連続であるという証明と受け止められかねません。

この回答へのお礼

>>h=0のときも抜けていますね

h=0のときは自明かと思っていたのですが、これが不合格の原因な気がしてきました。ありがとう御座います。

お礼日時：2010/09/10 14:45

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/09/10 02:45

あるいは、sin 0 = 0 を明示しなかったから out

とかだったら、笑うしかない。

この回答へのお礼

>>sin 0 = 0 を明示しなかったから out

担当教授の嗜好からしてありそうで怖いですね。
すごく細かい解答を求められるんですよ。

お礼日時：2010/09/10 14:44

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2010/09/10 02:41

(3) の一行前の式で ＜ を ≦ に直せば

問題無いように思うけど…

もしや、εδでヤレという課題だったのでは？

この回答へのお礼

特に解法の指定はなかったのですが、再提出はεδ論法でやろうと思います。

お礼日時：2010/09/10 14:42