教えてください。

教えてください。

一様に帯電した半径10.0cmの球がある。
球のまわりの電場を測定したところ、球の中心から1.00mのところでは
電場の向きはいずれも半径方向外向き（球面の法線方向//ｎ）で
強さは一定で、1.00[V/m]であった。

１）半径1.00mの球面上の面積分

　∫E(r)・n dS　　　　　　　（球の表面積は？）
半径1.00mの球面全体S

２）１）の結果を用い、ガウスの定理より帯電した球の総電荷量Q[C]を求めよ。

３）電荷はすべて帯電した球の表面に一様に分布しているとして、表面電荷密度σ[C/m2]を求めよ。

４）球の中心よりｒの点の電場の式を記せ。但し、r>10.0cmである。

５）帯電した球表面の直ぐ外側（r=10.0cmとしてよい）の電場と電束密度を求めよ。

６）３）と５）を比較せよ。

No.1 回答者： taros61 回答日時： 2010/10/29 16:04

(1)

クーロンの法則より

（Eベクトル）＝Q（rベクトル）/(4πεr^3)

電場の向きと面の法線方向は一致しているので

(rベクトル)・d(Sベクトル）＝rdS

よって

∫（Eベクトル）・d（Sベクトル）＝∫QrdS/(4πεr^3)
=Q/(4πε)∫dS/(r^2)

極座標で考えると微小面積dsは

dS＝r^2sinθdφdθ

よって

∫dS/(r^2)＝∬sinθdφdθ＝4π

∫（Eベクトル）・d（Sベクトル）＝Q/ε …（a）

(2)

(a)の式より

4πr^2E=Q/ε

r=1.00 [m], E=1.00[V/m]

帯電した球が真空中に存在していると仮定すると

ε=8.85×10^(-12)[N/V^2]

Q≒1.11×10^(-10)[C]
(3)

Q=4π(0.100)^2σ

σ≒8.85×10^(-10)[C/m^2]

(4)

4πr^2E＝Q/ε

E＝1.00/r^2

(5)
r=0.1[m]を代入

E＝100[V/m]

D=εE≒8.85×10^(-10)[C/m^2]

（6）
球表面の電荷密度と球表面の電束密度を比較すると同様の値をとっていることがわかる．

電束密度は単位面積を貫く電気力線の本数である．
電荷QからはQ/ε本の電気力線が出ているので，球表面での電束密度は
D＝Q/4π(0.01)^2

問題(3)より

σ＝Q/4π(0.01)^2

よってD＝σとなる．

以上のことから球表面の電荷密度と球表面の電束密度は一致する．


間違ってたらすいません…