位相空間と写像について学習している者です。

位相空間と写像について学習している者です。
位相空間における閉包の概念等の理解に苦しんでいます。。。

では、質問させていただきます。

位相空間(X,Т)の二つの部分集合A,Bについて、

cl(A∩B) ⊂ cl(A)∩cl(B)

※cl(X)で集合Xの閉包(closure)を表すとします。

を証明したいのですが、過程が分かりません。

以下で、証明できていますか？

x∈cl(A∩B) ⇒ x∈cl(A) かつ x∈cl(B)

⇒ x∈cl(A)∩cl(B)

x∈cl(A) かつ x∈cl(B)にたどり着くまでの過程が足りない気がしています。

ご教授よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： gotouikusa 回答日時： 2010/10/20 18:40

詳しくないので参考意見です。

位相の導入の仕方により、閉包の定義が違うと思いますが。

例えば(添付画像のほかに)こんなのもよいでしょう：
Cl (A) : = “A を含む閉集合のうち最小のもの”
いま
x ∈ Cl ( A ∩　B)
⇒ x ∈ “A ∩　B を含む最小閉集合”
A ∩B ⊂ A , A ∩B ⊂ B だから
x ∈ “Aを含む最小閉集合”かつ x ∈“B を含む最小閉集合”
すなわち x ∈ Cl(A) かつ x ∈ Cl(B)

この回答への補足

添付画像の証明は、

近傍ではなく開近傍ですよね？

それならば、納得です。
以下の公理？はこういう時に使用するものだったのですね。

(公理)
x∈cl(A)のとき、xの任意の開近傍Tに対して、T∩A≠0

また、

添付画像のほかに、

>A ∩B ⊂ A , A ∩B ⊂ B だから
>x ∈ “Aを含む最小閉集合”かつ x ∈“B を含む最小閉集合”

とおっしゃっていますが、

これは、つまり、

x∈cl(A∩B) ⇒ A∩B ⊂ A かつ A∩B ⊂ B
⇒ cl(A∩B) ⊂ cl(A) かつ cl(A∩B) ⊂ cl(B)
⇒ x∈cl(A) かつ x∈cl(B)
⇒ x∈cl(A)∩cl(B)

ということですか？

2つ目の⇒がなぜ成り立つのか分かりません。。。

補足日時：2010/10/20 19:53

この回答へのお礼

まず、お礼を言うのを忘れてしまいました。

早速のご回答ありがとうございました。

お礼日時：2010/10/20 19:57

No.4 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/10/21 08:59

ちなみに

「もちろんそういう定義」と書かれていますが，
closureの定義には多種多様なものがあります．
No.1さんが挙げられてますが他にもあります．

そういう定義がすべて同値であることは
きちんと自分で証明しておくべきです．

No.3 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/10/20 23:21

Aの閉包が「Aを含む最小の閉集合」という定義なら

問題の命題は自明です

cl(A) は A を含む最小の閉集合であり，
cl(B) は B を含む最小の閉集合であるので
cl(A)∩cl(B)は閉集合であり，A∩Bを含む．
一方，cl(A∩B) は A∩B を含む最小の閉集合．
だから
cl(A∩B) ⊂ cl(A)∩cl(B)

>以下で、証明できていますか？
何も証明できていません．
最初の⇒が証明することです．

この回答への補足

> Aの閉包が「Aを含む最小の閉集合」という定義なら
> 問題の命題は自明です

もちろん、そういう定義です。

cl(A)∩cl(B)はA∩Bを含む閉集合(A∩Bを含む最小の閉集合とは限らない)

cl(A∩B) は A∩B を含む最小の閉集合

だから、cl(A∩B) ⊂ cl(A)∩cl(B)

なのですね。

理解しました。

cl(A)∩cl(B)は閉集合になる、つまり閉集合と閉集合の共通集合が閉集合になるということを認識できていませんでした。

ありがとうございました。

補足日時：2010/10/21 00:07

No.2 回答者： gotouikusa 回答日時： 2010/10/20 21:16

#1でお答えしたものです。

下手な日本語で失礼いたしました。お礼をいただく資格はございません。

画像にある「近傍(nbh)」については本によって定義が異なると思いますので、どうぞご自分の必要に応じて決めてください。

「別解」の部分ですが、何か誤解があったようなので答え直します。

cl (A) : = A を含む閉集合のうち最小のもの
= A を含むすべての閉集合の交わり（intersection）
= ∩ { D ; D ⊃ A , D : closed }
この定義に従えば
x ∈ cl(A) ⇔ ( ∀ D ⊃ A、D is closed ⇒ x ∈ D )

いま、 x ∈ cl (A ∩ B ) をとる
D は A を含む任意の閉集合とする ( D ⊃ A , D : closed )
because D ⊃ A ⊃ (A ∩ B ) .........( ←この部分は推論ではなく「当たり前」のことです)
cl (A ∩ B ) の定義より x ∈ D
以上より x ∈ cl ( A) が言えます。
同 x ∈ cl(B)

頭の悪い後輩からの参考意見としてご覧になってください。

この回答への補足

う～ん。。。分かりません。

> cl (A ∩ B ) の定義より x ∈ D ・・・(2)

となぜ言えるのか教えてもらえませんか？

> D ⊃ A ⊃ (A ∩ B ) ・・・(1)

(1)⇒(2)のところが分かりません。

> 頭の悪い後輩からの参考意見としてご覧になってください。

何をおっしゃいますやら。頭が悪いのは私です。

補足日時：2010/10/20 22:08