三変数の積分

Ｒを正の実数とする。ＸＹＺ空間において、Ｘ＾２＋Ｙ＾２≦Ｒ＾２、Ｙ＾２＋Ｚ＾２≧Ｒ＾２、Ｚ＾２＋Ｘ＾２≦Ｒ＾２を満たす点全体からなる立体の体積をもとめよ。
です。
Ｘ＝ｔとおいて考えて、二変数にしてから積分して体積を求めるようなのですが、理屈も、イメージもできません。どういう空間の話なのかさえ分かりません。また、類題がでた時にどのように対処したらよいのでしょうか。パターンがあったら教えて下さい。

No.1 ベストアンサー 回答者： hugen 回答日時： 2010/11/20 22:37

http://web2.incl.ne.jp/yaoki/amg.htm
http://komurokunio.web.infoseek.co.jp/volume/vol …

この回答へのお礼

とっても解りやすくかつパターンがあって面白かったです。自分は整数問題も苦手なんですが、整数問題でも同じようなサイトがないでしょうか？あったら、ぜひ教えてほしいです。お願いします。

お礼日時：2010/11/20 23:45

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2010/11/20 23:12

参考URLの例題３にR=1の場合の直交３円柱の共通部分の体積の立体イメージと体積の求め方の解答が載っていますので参考になるかと思います。

R=1の場合と一般のR(>0）の場合が相似立体なので体積比はR^3倍になります。

したがって共通部分の体積Vは

　V=8(2-√2)R^3
　
となります。
立体のイメージが掴めれば簡単に解けるようです。

また次のURLの「◆岐阜県　水の流れさんからの解答。」にR=aの場合の体積の求め方の解答が載っています。
http://web2.incl.ne.jp/yaoki/amg.htm
以下にも同じ問題の解答があります。
http://members.jcom.home.ne.jp/dslender/mmon/sek …
http://soudan1.biglobe.ne.jp/qa3137954.html

参考にしてフォローしてみてください。
まず立体のイメージを掴むことが大切ですね。

参考URL：http://komurokunio.web.infoseek.co.jp/volume/vol …

No.2 回答者： OKXavier 回答日時： 2010/11/20 22:49

Ｘ＾２＋Ｙ＾２≦Ｒ＾２、Ｚ＾２＋Ｘ＾２≦Ｒ＾２

を満たす立体の体積から

Ｘ＾２＋Ｙ＾２≦Ｒ＾２、Ｙ＾２＋Ｚ＾２≦Ｒ＾２、Ｚ＾２＋Ｘ＾２≦Ｒ＾２
を満たす立体の体積を引き算してみたらどうですか？