1 100m離れた2地点A、Bから川を隔てた対岸の2地点P、Qを観測して、次の値を得た。
∠PAB=75、∠QAB=45、∠PBA=60、∠QBA=90。
このとき、A、P間とP、Q間の距離を求めよ。


2一直線上に並んだ3地点A、B、Cから塔PQの仰角を測ると、
それぞれ30、45、60であった。
また、AB=20m、BC=20mであった。
塔PQの高さを求めよ。


3一辺の長さが2の立方体ABCD-EFGHにおいて、
辺CGの中点をMとする。
線分AF、AM、FMの長さと∠FAMの大きさを求めよ。


4半径1の円に内接する四角形ABCDにおいて、
AB=√3、∠D=75、∠C=120であるとき、
∠ADB、∠DACの大きさ、線分CD、ACの長さを求めよ。




自分で少しやってみたのですが、
なかなか答えにたどりつけなかったので、
どうかよろしくお願いしますm(_ _)m

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A 回答 (2件)

1. 平面上の測量の問題ですね。


  直線ABと直線PQが平行でないことに注意が必要です。

 △ABQで∠QBA=90°、∠QAB=45° から ∠AQB=45° であるので、△ABQは直角二等辺三角形だと分かります。
  ∴ BQ=AB=100 (m), AQ=√2AB=100√2 (m)
 △ABPで∠PAB=75°、∠PBA=60° から ∠APB=45° であるので、∠APB=∠AQB=45° となり、弦ABに見込む角(円周角)が等しいので、四角形ABQPは円に内接することが分かります。
 すると、円に内接する四角形の対角の和は180°ですので、∠ABQ=90° から ∠APQ=90° となり、△APQは直角三角形です。
 円周角の定理から ∠PQA=∠PBA=60° ですので△APQは 辺比が1:2:√3 の直角三角形ですので、
  ∴ PQ=AQ/2=50√2 (m), AP=√3PQ=50√6 (m)


2. 空間内での測量の問題ですね。
  直線ABCが塔の直下Qを通らないことに注意が必要です。

 塔PQの高さをx(m)とします。
 △APQは∠PAB=30°、∠AQP=90°の直角三角形ですので、AQ=√3 x (m)
 同様に△BPQ、△CPQについても直角三角形の三角比から BQ=x (m), CQ=x/√3 (m) となります。

 △ABQと△BCQについて余弦定理を適用すると
  AQ^2=AB^2+BQ^2-2AB・BQcos∠ABQ
  CQ^2=BC^2+BQ^2-2BC・BQcos∠CBQ
となります。ここで、∠ABQ+∠CBQ=180° なので cos∠CBQ=-cos∠ABQ になり、AB=BC=20 (m) であることに注意して 2つの余弦定理の式を足し合わせると、cosの項が消えて整理でき
  (10/3)x^2=2x^2+800
 ∴PQ=x=10√6 (m)


3.
 △ABFは∠ABF=90°の直角二等辺三角形なので、AF=2√2
 △MAGで三平方の定理から FM=√5
 △ABC≡△ABFから AC=2√2、 △ACMで三平方の定理から AM=3

 △AFMに余弦定理を適用して
  cos∠FAM=(AF^2+AM^2-FM^2)/(2AF・AM)=√2/2
 ∴∠FAM=45°


4. 円に内接する四角形の問題ですので、設問1.とよく似ています。
  △ABDが正三角形であることに気づくと早く求められます。

 円の中心を点Oとして、弦ABに点Oから下ろした垂線の足をHとすると、△OAHと△OBHは合同な1:2:√3の直角三角形になっていますので、∠AOH=∠BOH=60° ∴∠AOB=120°
 円周角は中心角の半分ですので ∠ADB=(1/2)∠AOB=60°
 円に内接する四角形の対角の和は180°ですので ∠DAB=180°-∠BCD=60°
 △ABDの内角の和は180°なので ∠ABD=60°
 ∠ADB=∠DAB=∠ABD=60°なので △ABDは正三角形であることが分かり、 AD=BD=AB=√3

 円周角の定理から ∠ACD=∠ABD=60°
 △ACDの内角の和から ∠DAC=180°-∠ADC-∠ACD=45°
 △ACDに正弦定理を適用して
  CD/sin∠DAC=AD/sin∠ACD=AC/sin∠ADC
 ∴CD=√2, AC=(√6+√2)/2
      (∵ sin75°=(√6+√2)/4  )
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この回答へのお礼

詳しく説明してくださってありがとうございました><
結構わかりやすかったです^^

お礼日時:2010/11/21 11:28

(1)∠QAB=45°、∠QBA=90°なのでAB=QBです。

APsin75°=QB、PQ=QBtan30°です。
(2)P,Qのうち、Pが地上にある点とします。PQの高さをhとすると、AP,BP,CPの距離はそれぞれh/tan30°、h/tan45°、h/tan60°です。
 ⊿PBAについて余弦定理を用いてcos∠PBAを表します。また、△PBCについて余弦定理を用いてcos∠PBCを表します。A,B,Cが一直線にあるということは∠PBA+∠PBC=180°ということであり、cos∠PBA=-cos∠PBCなので・・・
(3)AFは正方形の対角線です。AMについてはまずACの長さを求め、△ACMについて三平方の定理を使います。FMも三平方の定理です。∠FACについては∠AFMが90°になるので△AFMに正弦定理を用いればいいと思います。
(4)△ADBについて正弦定理を使います。sin∠ADBとABの長さ、そして外接円の半径の関係を使って・・・。これにより∠ADBが判り、∠ABDも判るのでADの長さも求められます。今度は△DACに正弦定理を使うと∠ACDが求められ、三角形のふたつの内角が判るので∠DACも求められます。∠DACが判ればさらに△DACに正弦定理を用いてCDの長さが判ります。ACの長さも△DACに正弦定理を使います。
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この回答へのお礼

ありがとうございましたm(_ _)m

お礼日時:2010/11/21 11:29

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>これを (1) か (2) へ代入して、h^2 が (したがって h も) 求まる。
>h がわかるので、△ABC の面積 = ah/2 を勘定可能になった。

たとえば、
 h^2 = c^2 - d^2
を使って h を勘定してしまえば、△ABC の面積は求められるはず。


ヘロン氏は h^2 を「因数分解」してみせた、というわけでしょうネ。
              ↓
 h^2 = c^2 - d^2
   = { (2ac)^2 - (a^2 + c^2 - b^2)^2 }/(2a)^2
   = { 2ac + (a^2 + c^2 - b^2) }{ 2ac - (a^2 + c^2 -b^2) }/(2a)^2
   = { (a + c)^2 - b^2) }{ b^2 - (a - c)^2 }/(2a)^2
   = (a + c + b)(a + c - b)(b + a - c)(b - a + c)/(2a)^2

   

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と表せることを教えていただきました。

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可能な組み合わせだった場合、x,yが与えられたときに
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※ここで“キリの悪い有理数”とは、
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何を仰っているのか意味不明です

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私は、
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何しろ専業主婦なもんで必要ありませんでしたので。そして子供が高校生になって余弦定理をやるようになって久しぶりにお目にかかりました。それとこの数学カテでも・・
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正弦定理から余弦定理は導けるのですが、余弦定理から直接に正弦定理を出す導き方を教えてください。(参考書など調べてみましたが出ていませんでした)

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 正弦定理から余弦定理を求めることが出来るのは、良いとして、その逆は理解しかねるかもしれません。

 即ち、余弦定理は、作図に基づく数式の定義とその計算によって求まります。けれど、正弦定理は、sinθの定義がそのまま定理になったようなものです。

 つまり、直角三角形において
sinA=(対辺)/(斜辺)
ですが、この三角形の直角の対辺が、外接円の直径(2r ; rは半径)と等価ですよね。また、角Aの対辺を辺aとおきます。すると、そのまま、
sinA=(対辺)/(斜辺)=a/2r
となります。これが、正弦定理そのものです。あとは、同様にして、
sinB=b/2r , sinC=c/2r
を求め、2rにおいて通分すれば、
a/sinA=b/sinB=c/sinC
ですよね。

 ここで、通分さえしなければ、正弦定理は計算の余地さえないほどのsinの定義そのものです。つまり、「余弦定理から、sinの定義を求める方法は?」と質問しているのと同様です。

No.4から、(sinA)^2+(cosA)^2=1
⇔(sinA)^2=(sinB)^2+(sinC)^2-2(sinB)(sinC)×cosA
と変換することは出来ますが、ここから余弦定理
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まで求めるには、rを使う必要があります。そして、これは三角関数sinの定義(ひいては正弦定理)を使うことを意味します。

 では、どうするかと言えば、
a/sinA=b/sinB=c/sinC
なんですから、sinA=(a/b)sinBと変形できます。
次に、sinCは、sin(A+B)と変形できます。
よって、残るは、cを何とかしてつぶせばいいのですが、
c=a×cosB+b×cosA
と変形すれば良いですね。(でもこの式は使いたくないですね。同様に余弦定理を介さないで、
a×sinB=b×sinA
も導けるからです。これは、正弦定理そのままですからね。)

では、どうすれば良いか。余弦定理のみでcを消さねばなりません。

>■余弦定理:
> a^2=b^2+c^2-2bc×cosA
> b^2=c^2+a^2-2ca×cosB
> c^2=a^2+b^2-2ab×cosC

ですから、順に式p,式q,式rとおき、式pと式qからc^2を消し、残ったc=...の式を式rに代入すれば、辺cがなくなり角Cも消せます。よって、上手く正弦定理が示せるでしょう。

 ただし、前述のように、sinの定義そのものを計算で導くというこの証明に、意味は無いと思いますが。。。

■正弦定理について:

 正弦定理から余弦定理を求めることが出来るのは、良いとして、その逆は理解しかねるかもしれません。

 即ち、余弦定理は、作図に基づく数式の定義とその計算によって求まります。けれど、正弦定理は、sinθの定義がそのまま定理になったようなものです。

 つまり、直角三角形において
sinA=(対辺)/(斜辺)
ですが、この三角形の直角の対辺が、外接円の直径(2r ; rは半径)と等価ですよね。また、角Aの対辺を辺aとおきます。すると、そのまま、
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Qp^2=2^q+1 を満たす正の整数p , qをすべて求めよ。

p^2=2^q+1 を満たす正の整数p , qをすべて求めよ。

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> (p , q)=(3 , 3)はすぐ分かるのですが
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> 「全て」というので、何らかの不等式に持ち込んで範囲を絞るのだと思うのですが…。

不等式で範囲を絞る以前に、
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p-1とp+1の差は「たった2」しかありません。

対して、2のべき乗を列挙した数列
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Q余弦定理についての説明ができず困っています。

明日妹が数学の試験なのですが、余弦定理について
教えてほしいと言われたのですが、聞かれた本人も余弦定理の意味を
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余弦定理について詳しく解説されているようなサイト様とか
ありませんでしょうか…。
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ちなみに妹は高校一年生(数IA)で、sin cos tanの意味も分かっていない状態です。
どうかよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

まず、教科書を読んでみては?

> sin cos tanの意味も分かっていない状態です。
この状態で余弦定理を学ぼうというのはかなり無理があると思います。
きちんとはじめからやり直すのが結局は近道だと思います。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%AE%9A%E7%90%86

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2X(2乗)+px+q=0の二つの解がー3、pであるとき定数p,qの値を求めよ。


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Aベストアンサー

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18-3p+q=0
3p^2+q=0
3p^2+3p-18=0
p^2+p-6=0
(p-2)(p+3)=0
p=2 又は p=-3
p=2のとき
q=3p-18=3*2-18=-12
p=-3のとき
q=3p-18=-9-18=-27
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Q正弦定理と余弦定理で答が違う?

三角形の残りの角と辺の長さを求めよという問題で、余弦定理を用いると答が一つなのに、正弦定理も用いて解くと答が二つになってしまうことがあります。
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>一つに決まるのなら、値を二つ出してしまう正弦定理ってあまりいい定理じゃありませんよね。なぜそんな定理が認められるのでしょうか?

確かに、(三角形の)角度のみに関心がある場合には余弦定理の方が解が一つに決まるので正弦定理より優れていると言えなくも無いですが、正弦定理で複数解が出てくることに関しては、前の方がおっしゃっているように、図的な考察から対処できますし、正弦定理の式には余弦定理に出てこない外接円の半径が含まれていますね。正弦定理は外接円の半径と三角形の角・辺の長さを結びつける、という意味で重要な式なわけです。

このような(外接円の関係しない)問題で正弦定理を用いる場合の最大の利点は、二乗の計算をしなくても答えが出せる、ということです。辺の長さに根号が含まれているときは、二乗の計算をしないと鈍角か鋭角かの判断が難しいかもしれませんが、それでも余弦定理を用いるよりも計算量は少なくて済むことが多いのです。

あと、これはちょっと受験テクニック的な話ですが、センター試験の様な形式のマーク試験の場合、例えば正弦定理から60度と120度の2つの答えがでてきた場合はマークの形(2桁か3桁か)からどちらが答えか判断できてしまいまうので、余弦定理を使うよりもだいぶ短い時間で解答できます。

>一つに決まるのなら、値を二つ出してしまう正弦定理ってあまりいい定理じゃありませんよね。なぜそんな定理が認められるのでしょうか?

確かに、(三角形の)角度のみに関心がある場合には余弦定理の方が解が一つに決まるので正弦定理より優れていると言えなくも無いですが、正弦定理で複数解が出てくることに関しては、前の方がおっしゃっているように、図的な考察から対処できますし、正弦定理の式には余弦定理に出てこない外接円の半径が含まれていますね。正弦定理は外接円の半径と三角形の角・辺の長さ...続きを読む

Qもしあるpが存在して、q(p(x)) が r(p(x)) と同値なら、任意のpに対して、 q(p(x)) は r(p(x)) と同値 ですか? 

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Aベストアンサー

両者が同値というのは、全てのpにたいして同値という事ですから、任意のpに成立します。


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