難しい（？）不定積分

f(x)=a/(a-sinx) g(x)=(1-a^2)/(1-2a cosx +a^2)の不定積分を求めることが出来ません。（ただしaの絶対値は０より大きく１より小さい）
特に、ｇ(x)の場合には全区間（－∞,＋∞）での不定積分を求めなければ、ならないのですが・・・
自分なりに、t=tan(x/2)で置換してみたりはしてみました。何かヒントをいただければと思います。
高校での積分ではないことは分かっています。

No.5 ベストアンサー 回答者： inara1 回答日時： 2010/11/24 20:42

不定積分は分かったと思います。

しかし ｇ(x) は、添付図のように、周期が 2π で、値が正なので、積分範囲が －∞ ～＋∞ だと発散すると思います。ｇ(x) の式は合ってますか？添付図のグラフは、黒が a = -0.9、茶色が a = -0.5、赤色が a = -0.1、黄色が a = 0.1、緑色が a = 0.5、青色が a = 0.9 です。

この回答へのお礼

まとめて、お礼をつけさせて頂きます。

だいぶ、お礼が遅くなり申し訳ないです。

このサイトを見る前に、自分でやり直したら、fの方もgの方も出来ました。
定積分ではなく、不定積分のみ求めよとのことなので、おそらくこれでいいのだと思います。書き方が定積分を求めるもののように受け取られてしまう可能性のある書き方をしてしまいましてすいません。

gに関しても、ただπ/2で区切った後にそれぞれを連続になるようＣを調整すればよく、よけいなお手数おかけして申し訳なかったです。

お礼日時：2010/11/25 09:24

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2010/11/23 20:43

#2,#3です。

g(x)の積分について
t=tan(x/2),u=((1+a)/(1-a))t,tan(v)=uといった3回の変数変換をすれば以下の
積分結果が得られます。根気良く変数変換して計算しましょう。
積分したら、微分して元のg(x)に戻るから以下の積分は正しいでしょう。

I=∫g(x)dx=∫(1-a^2)/(1-2a*cos(x)+a^2) dx
=2tan^-1(((1+a)/(1-a))tan(x/2))+C (Cは積分定数）
これも高校の数学レベルですね。

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2010/11/23 20:20

#2です。

f(x)の積分を双曲線関数tanh(x)を使わない式に変形すれば次のようになります。
（同じ式の変形ですから両方とももちろん正解です。）
I=∫a/(a-sin(x))dx
=(|a|/√(1-a^2))log|(tan(x/2)-√((1/a^2)-1)-(1/a)))/(tan(x/2)+√((1/a^2)-1)-(1/a))|+C　(0<|a|<1)
この形なら高校レベルの積分になります。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/11/23 19:15

先ずf(x)(については途中計算は煩雑なため省略しますが以下のようになります。

正しいことは積分結果を微分して被積分関数f(x)になることで確認できます。
t=tan(x/2),u=(t-1/a)/√((1/a^2)-1),v=tanh(u),z=-2v/√((1/a^2)-1)
といった4回の変数変換をすれば積分できるかと思います。
ここで tanh(u)≡((e^u)-e^(-u))/((e^u)+e^(-u))=((e^(2u))-1)/((e^(2u))+1) です。
（双曲線関数tanh(x)については参考URL参照）

I=∫a/(a-sin(x))dx=-(2tanh^-1((tan(x/2)-1/a)/√((1/a^2)-1)))/√((1/a^2)-1)+C
（Cは積分定数)

g(x)については出来たら追加回答します。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/双曲線関数

No.1 回答者： inara1 回答日時： 2010/11/23 17:41

t = tan(x/2) とおけばいいです。

　　sin(x) = 2*t/( 1 + t^2 )、cos(x) = ( 1- t^2 )/( 1 + t^2)、dx = 2/( 1 + t^2 ) dt
ですから
　　f(x) dx = 2/{ ( t - 1/a )^2 - ( 1 - a^2 )/a^2 } dt
　　g(x) dx = 2*( 1 - a^2 )/{ ( a - 1 )^2 + ( a + 1 )^2*t^2 } dt
1 - a^2 > 0 であることを考慮すれば f(x) は部分分数に分解できます。
g(x) は t = { ( a - 1 )/( a + 1 ) }*tan(s) とおけば、dt = { ( a - 1 )/( a + 1 ) }*{ 1 + tan(s)^2 ds ですから後はできますね。

g(x) の定積分は π/2 ごとに区切って積分するのでしょうかね。

この回答へのお礼

だいぶ、お礼が遅くなり申し訳ないです。


自分で、やり直したら、fの方もgの方も出来ました。もっともgの方は全区間で出来てませんが・・・
よけいなお手数おかけして申し訳なかったです。

お礼日時：2010/11/25 09:17