出産前後の痔にはご注意!

負の二項分布は、何故「負の二項分布」と呼ばれているのでしょうか。

昔どこかの教科書で、二項分布で何かのパラメータを負に拡張することで得られる、と読んだ覚えがある(うろ覚えですが)のですが、式をいじくってもいまいち分かりません。

よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

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この回答へのお礼

なるほど。コンビネーションの代数的に素朴な定義に当てはまるんですね!
ありがとうございました。

お礼日時:2010/11/28 20:29

二項係数 nCr=(n,r) において


nのところを負の整数で置き換えた (-n,r)を負の二項係数と言います。

(-n,r)=(-1)^r(n+r-1,r)
ですので

確率関数
f(r;n,p)=(-n,r)p^n(-q)^r
を負の二項分布といいます。負の二項係数が用いられて
いるところからきています。
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この回答へのお礼

負の二項係数については、#1さんのリンクで理解しました。ありがとうございました。

お礼日時:2010/11/28 20:30

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Q確率母関数の定義

確率母関数の定義を詳しく教えてください。

私が知っている範囲ですと,あやふやな確率の母集団の確立を表すことであやふやな確立の近似値を示すことができる。ということです。

不確かなことなので間違っているかもしれませんが,どうかお願いします。

Aベストアンサー

通常、確率母関数というのは、離散値(非負整数値)を取る確率変数のべきモーメントを指します。すなわち、

0を取る確率がp_0、1を取る確率がp_1、2を取る確率がp_2、…
であるような確率分布を考えます。当然p_0+p_1+p_2+…=1となります。
このとき、この(確率)分布の確率母関数G(t)とはt^Xの期待値をいいます。
もっと解りやすく書くと、
G(t)=p_0+p_1t+p_2t^2+p_3t^3+…
のことを言います。べき級数の各係数が、
そのべきを取る確率になっているようなもののことです。
なぜ確率母関数と呼ばれるかというと、次の事実によります。
すなわちG(0)=p_0、G'(0)=p_1、G''(0)=2p_2、
…、G^(n)(0)=n!p_n、…のように、原点での微分係数が
確率を与える(すなわち確率の母というわけです)からです。

通常、連続分布などの場合は、ラプラス変換であるモーメント母関数、
あるいはフーリエ変換である特性関数などを用いますが、
離散値であることがわかっている場合は、確率母関数を用いる方が
計算が容易であることも多く、よく重宝されます。

なぜこれが便利かというと、たとえば二つの確率分布が独立であること
の証明をするのに、確率母関数が積に分解するかどうかを確かめる
だけでよいからです。このことはモーメント母関数でも特性関数でも
まったく同様です。

なお、通常用いられている、分布関数F(x)という用語は、
ある確率変数(あるいは確率分布)で、値x以下を取る確率のことを
指します。したがって確率母関数とは異なる用語です。

通常、確率母関数というのは、離散値(非負整数値)を取る確率変数のべきモーメントを指します。すなわち、

0を取る確率がp_0、1を取る確率がp_1、2を取る確率がp_2、…
であるような確率分布を考えます。当然p_0+p_1+p_2+…=1となります。
このとき、この(確率)分布の確率母関数G(t)とはt^Xの期待値をいいます。
もっと解りやすく書くと、
G(t)=p_0+p_1t+p_2t^2+p_3t^3+…
のことを言います。べき級数の各係数が、
そのべきを取る確率になっているようなもののことです。
なぜ確率母関数と呼ばれるかという...続きを読む

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q負の二項分布について

期待値の求め方はどうやるのでしょうか?
成功回数をr回、繰り返しの回数をx回とすると、期待値の定義式に代入したときに、xはr回から∞回まで足し合わせるということになるのでしょうか?
もし、そうだとしても計算の方法が良く分からないのですが、方針だけでも教えていただけると幸いです。

Aベストアンサー

#2です。少し時間ができたので補足しておきます。
まず、この期待値をExcelで確認する方法ですが、
可能性としては0から∞まであるのでその足し算になります。
もっともある程度でほとんど結果に影響が出ない数字になるので適当なところまで足してください。

A1に成功回数r、A2に1回の成功の確率πを入れるとして

C1 =A1
D1 =(C1-C$1)*COMBIN(C1-1,C$1-1)*A$2^C$1*(1-A$2)^(C1-C$1)
C2 =C1+1

後はC2をコピーしてC1000ぐらいまで、D1をコピーしてD1000ぐらいまでペーストし、
どこかに=sum(D1:D1000)を入れて結果を確認してみてください。
例えばA1に8、A2に0.3を入れれば8*0.7/0.3=18.6666・・・になると思います。

ところで負の二項分布はr回成功するまでの失敗の回数の分布です。

××○×・・・・・×○・・・・・×○

なので確率としては試行回数xなら(x-1)回に○が(r-1)個あり、
確率としては

C[x-1,r-1]*π^r*(1-π)^(x-r)

この時、×の個数は(x-r)ですので期待値は

Σ[k=r,∞](k-r)*C[k-1,r-1]*π^r*(1-π)^(k-r)

と計算されます。(r回どころか、1回成功するまでの回数だけでも無限大がありえますから)

ところでそれぞれの○までをバラバラにしてみると

××・・・・×○
×○

××○
・・・・・・・

×がいくつか並んで最後に○がくる形になります。
これは幾何分布にほかなりません。
つまり、確率変数Xを成功確率πの試行でr回成功するまでの失敗回数とし、
確率変数Y1,Y2,・・・・Yrを一回の成功までの失敗回数とすると
それぞれは独立なので

E(X)=E(Y1)+E(Y2)+・・・・・・+E(Yr)

が成立します。個々の

E(Yi)は容易に求めることができて(等比級数でも確率母関数でもいいですが)

(1-π)/π

です。これがr個ありますから

E(X)=r(1-π)/π

と求まります。期待値の計算には分解したほうが簡単になる例は
結構ありますよ。

#2です。少し時間ができたので補足しておきます。
まず、この期待値をExcelで確認する方法ですが、
可能性としては0から∞まであるのでその足し算になります。
もっともある程度でほとんど結果に影響が出ない数字になるので適当なところまで足してください。

A1に成功回数r、A2に1回の成功の確率πを入れるとして

C1 =A1
D1 =(C1-C$1)*COMBIN(C1-1,C$1-1)*A$2^C$1*(1-A$2)^(C1-C$1)
C2 =C1+1

後はC2をコピーしてC1000ぐらいまで、D1をコピーしてD1000ぐらいまでペーストし、
どこかに=sum(D1:D1000...続きを読む

Qデータが i.i.d であるとはどういう意味を持つ?

まず,i.i.d についての自分の理解が正しいか確認させてください。
(この時点で理解を誤っている可能性もあるので。)
i.i.d は,独立に同一の確率分布に従うということなので,ある n個のデータ{X1,・・・,Xn}がi.i.d であるとは,
例えば,平均μ,標準偏差σのガウス分布から取り出され(同一の確率分布に従う),
各Xiは,その他のXj(i≠j)からの影響を受けない(独立である)。
これらが満たされるとき,i.i.d である。
この理解でいいでしょうか?

また,重回帰においては,以下の資料の3ページに書かれているように
(http://www.econ.hit-u.ac.jp/~bessho/lecture/06/econome/060524MOLS2.pdf)
X,Yは,i.i.d である必要があるといわれていますが,なぜ,i.i.d でなくてはならないのでしょうか?
i.i.d である場合とそうでない場合とで何が違うのでしょうか?

Aベストアンサー

i.i.d.の定義についてはそれでいいのでは。
http://en.wikipedia.org/wiki/Independent_and_identically-distributed_random_variables

後半について。
別に、i.i.d.でなくても、形式的に回帰を考えることは可能ですが。
もともと、回帰を考えるのは、
ある集団があるとして、そいつらの、平均的な性質を知りたいからでしょう。
とすれば、
・「独立であること」はつまり、考えている集団からサンプルを偏りなく選んだ、ということです。世論調査するときに、特定の年齢層ばかり集めてくれば(サンプルの間に相関がある)、でてきた結果もおかしいでしょう。
・「同分布であること」は、そもそも、サンプルを考えている集団からとってきた、てことです。日本の世論調査をしているときに、アメリカ人に聞いたらダメでしょう。


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